第8章 多元函数、极限与连续性 1
8.1 欧氏空间Rm的完备性和紧性 1
8.1.1 点列的收敛性 1
8.1.2 开集与闭集 1
8.1.3 Rm中的一些重要集及特征 3
8.1.4 Rm的完备性 4
8.1.5 Rm中有界闭集的紧性 4
思考与练习题 6
8.2 多元函数、极限与连续性 6
8.2.1 数量函数与向量函数 6
8.2.2 多元函数的极限 8
8.2.3 多元函数的连续性 10
8.3 课内练习 13
习题8(A) 13
习题8(B) 14
独立作业8 15
第9章 多元函数微分学 16
9.1 多元数量函数的偏导数和全微分 16
9.1.1 多元函数的偏导数 16
9.1.2 全微分 17
9.1.3 多元函数连续、可导与可微的关系 17
9.1.4 混合偏导数与求导顺序无关的条件 19
9.1.5 多元复合函数的求导法则 19
9.1.6 一阶全微分形式的不变性 20
9.2 多元向量函数的导数与微分 21
9.2.1 线性变换 21
9.2.2 多元向量函数的微分 22
9.3 多元向量函数的复合求导法及其应用 24
9.3.1 多元向量函数的复合求导法则 24
9.3.2 反函数存在定理与微分法 25
9.3.3 隐函数存在定理及微分法 26
9.3.4 变量代换 27
9.3.5 泰勒公式 28
9.4 课内练习 30
习题9(A) 31
习题9(B) 32
独立作业9 33
第10章 多元函数微分学的应用 34
10.1 在几何学上的应用 34
10.1.1 空间曲线的切向量、切线与法平面 34
10.1.2 空间曲线的伴随三面形 35
10.1.3 空间曲面的法向量、切平面与法线方程 36
10.2 多元函数的极值与条件极值 38
10.2.1 极值 38
10.2.2 多元函数的最大、最小值求法 39
10.2.3 条件极值与拉格朗日乘数法 40
习题10.1～10.2(A) 44
习题10.2～10.2(B) 44
10.3.2 二阶线性偏微分方程的化简 45
10.3.1 二阶线性偏微分方程基本概念 45
10.3 偏微分方程初步 45
10.3.3 一维波动方程柯西问题的解法 47
10.4 解析函数 48
10.4.1 复变函数的导数概念 48
10.4.2 可导函数的性质 49
10.4.3 解析函数 49
习题10.3～10.4(A) 50
习题10.3～10.4(B) 51
独立作业10 51
第11章 多元数值函数的积分学 53
11.1 重积分的概念及性质 53
11.1.1 质量问题 53
11.1.2 重积分的定义 54
11.1.3 重积分的性质 55
习题11.1(A) 57
11.2 二重积分的计算和应用 58
11.2.1 二重积分在直角坐标下的计算 58
习题11.1(B) 58
11.2.2 二重积分在极坐标下的计算 62
11.2.3 二重积分的换元法 66
11.2.4 二重积分的应用 70
习题11.2(A) 73
习题11.2(B) 75
11.3 三重积分的计算及应用 76
11.3.1 三重积分在直角坐标系下的计算 76
11.3.2 三重积分在柱坐标系下的计算 79
11.3.3 三重积分在球坐标系下的计算 81
11.3.4 三重积分的应用 85
习题11.3(A) 88
习题11.3(B) 90
11.4 对弧长的曲线积分与对面积的曲面积分的概念及性质 91
11.4.1 非均匀物质曲线与曲面的质量与第一类曲线积分、曲面积分 91
11.4.2 第一类线积分的计算 93
11.4.3 第一类曲面积分的计算与应用 95
习题11.4(A) 97
习题11.4(B) 97
独立作业11 97
第11章复习题 98
第12章 向量场，第二类曲线与曲面积分 100
12.1 向量场 100
12.1.1 不稳定场与稳定场 100
12.1.2 向量场的流线 100
12.2 对坐标的曲线积分的概念与计算 101
12.2.1 场力沿曲线作功的问题与第二类曲线积分 101
12.2.2 第二类曲线积分的计算 104
习题12.2 106
12.3 格林公式、平面曲线积分与路径无关的条件 106
12.3.1 格林公式 106
12.3.2 平面曲线积分与路径无关的条件 111
习题12.3(B) 118
习题12.3(A) 118
12.4 复变函数的积分 119
12.4.1 复变函数积分的定义 119
12.4.2 积分存在的条件及其计算法 120
12.4.3 柯西-古萨(Cauchy-Goursat)基本定理 121
12.5 留数 124
12.5.1 函数罗伦级数展开式的证明 124
12.5.2 留数 125
12.5.3 留数在计算定积分中的应用举例 126
习题12.4～12.5(A) 128
习题12.4～12.5(B) 129
12.6 第二类曲面积分 131
12.6.1 流量问题与第二类曲面积分 131
12.6.2 第二类曲面积分的计算 133
12.7 高斯公式与散度 135
12.7.1 高斯公式 135
12.7.3 散度的定义及其计算 137
12.7.2 通量与通量密度 137
习题12.6～12.7(A) 141
12.8 斯托克斯公式与旋度 142
12.8.1 斯托克斯(Stokes)公式 142
12.8.2 环量与环量密度 144
12.8.3 旋度的定义及其计算公式 144
12.9 梯度、散度、旋度的运算法则，几种特殊向量场 147
12.9.1 哈密尔顿(Hamilton)算子 147
12.9.2 无旋场 148
12.9.3 无源场 150
12.9.4 调和场 152
12.9.5 梯度、旋度和散度对场的确定 152
习题12.8～12.9(A) 154
习题12.8～12.9(B) 155
第11、12章思考题 156
线、面积分及场论综合习题 156
独立作业12 158
附录 习题参考答案 161