第一章 多元函数及其导数 1
1．1 平面和空间的点和点集 1
a．点的序列：收敛性 1
b．平面上的点集 4
c．集合的边界．闭集与开集 6
d．闭包作为极限点的集合 9
e．空间的点与点集 10
练习1．1 11
问题1．1 12
1．2 几个自变量的函数 12
a．函数及其定义域 12
b．最简单的函数 13
c．函数的几何表示法 14
练习1．2 17
1．3 连续性 18
a．定义 18
b．多元函数的极限概念 21
c．无穷小函数的阶 24
练习1．3 26
问题1．3 28
1．4 函数的偏导数 29
a．定义．几何表示 29
练习1．4a 33
问题1．4a 34
b．例 35
c．偏导数的连续性与存在性 37
练习1．4c 39
d．微分次序的改变 39
练习1．4d 42
问题1．4d 43
1．5 函数的全微分及其几何意义 43
a．可微性的概念 43
练习1．5a 46
问题1．5a 47
b．方向导数 47
练习1．5b 50
c．可微性的几何解释．切平面 51
练习1．5c 53
d．函数的微分 54
练习1．5d 56
e．在误差计算方面的应用 57
练习1．5e 58
1．6 函数的函数(复合函数)与新自变量的引入 58
a．复合函数．链式法则 58
练习1．6a 63
问题1．6a 64
b．例 65
c．自变量的替换 66
练习1．6c 70
1．7 多元函数的中值定理与泰勒定理 71
a．关于用多项式作近似的预备知识 71
问题1．6c 71
练习1．7a 73
b．中值定理 73
练习1．7b 75
问题1．7b 75
c．多个自变量的泰勒定理 76
练习1．7c 77
问题1．7c 78
1．8 依赖于参量的函数的积分 79
a．例和定义 79
b．积分关于参量的连续性和可微性 81
c．积分(次序)的互换．函数的光滑化 88
练习1．8b 88
1．9 微分与线积分 91
a．线性微分型 91
b．线性微分型的线积分 94
练习1．9b 100
c．线积分对端点的相关性 100
1．10 线性微分型的可积性的基本定理 102
a．全微分的积分 103
b．线积分只依赖于端点的必要条件 105
c．可积条件的不足 107
d．单连通集 110
e．基本定理 113
附录 115
A．1 多维空间的聚点原理及其应用 115
a．聚点原理 116
b．柯西收敛准则．紧性 117
c．海涅-波瑞耳覆盖定理 118
d．海涅-波瑞耳定理在开集所包含的闭集上的应用 119
A．2 连续函数的基本性质 121
A．3 点集论的基本概念 122
a．集合与子集合 122
b．集合的并与交 124
c．应用于平面上的点集 127
A．4 齐次函数 129
第二章 向量、矩阵与线性变换 132
2．1 向量的运算 132
a．向量的定义 132
b．向量的几何表示 134
c．向量的长度，方向夹角 137
d．向量的数量积 141
e．超平面方程的向量形式 144
f．向量的线性相关与线性方程组 146
练习2．1 152
2．2 矩阵与线性变换 154
a．基的变换，线性空间 154
b．矩阵 158
c．矩阵的运算 163
d．方阵．逆阵．正交阵 165
练习2．2 171
2．3 行列式 173
a．二阶与三阶行列式 173
b．向量的线性型与多线性型 176
c．多线性交替型．行列式的定义 180
d．行列式的主要性质 185
e．行列式对线性方程组的应用 189
练习2．3 191
2．4 行列式的几何解释 195
a．向量积与三维空间中平行六面体的体积 195
b．行列式关于一列的展开式．高维向量积 203
c．高维空间中的平行四边形的面积与平行多面体的体积 206
d．n维空间中平行多面体的定向 211
e．平面与超平面的定向 216
f．线性变换下平行多面体体积的改变 217
练习2．4 218
a．向量场 220
2．5 分析中的向量概念 220
b．数量场的梯度 222
c．向量场的散度和旋度 225
d．向量族．在空间曲线论和质点运动中的应用 228
练习2．5 231
第三章 微分学的发展和应用 236
3．1 隐函数 236
a．一般说明 236
练习3．1a 237
b．几何解释 237
练习3．1b 239
c．隐函数定理 239
练习3．1c 243
d．隐函数定理的证明 244
练习3．1d 247
e．多于两个自变量的隐函数定理 247
练习3．1e 249
3．2 用隐函数形式表出的曲线与曲面 250
a．用隐函数形式表出的平面曲线 250
练习3．2a 255
b．曲线的奇点 256
练习3．2b 258
c．曲面的隐函数表示法 259
练习3．2c 261
a．一般说明 263
3．3 函数组、变换与映射 263
练习3．3a 268
b．曲线坐标 268
练习3．3b 271
c．推广到多于两个变量的情形 271
练习3．3c 274
d．反函数的微商公式 275
练习3．3d 278
e．映射的符号乘积 281
练习3．3e 284
f．关于变换及隐函数组的逆的一般定理．分解成素映射 285
练习3．3f 291
g．用逐次逼近法迭代构造逆映射 291
练习3．3g 298
h．函数的相依性 299
i．结束语 301
练习3．3h 301
练习3．3i 303
3．4 应用 304
a．曲面理论的要素 304
练习3．4a 314
b．一般保角变换 315
练习3．4b 317
3．5 曲线族，曲面族，以及它们的包络 318
a．一般说明 318
练习3．5a 320
b．单参量曲线的包络 320
c．例 323
练习3．5b 323
练习3．5c 330
d．曲面族的包络 332
练习3．5d 334
3．6 交错微分型 336
a．交错微分型的定义 336
练习3．6a 339
b．微分型的和与积 339
练习3．6b 341
c．微分型的外微商 342
练习3．6c 346
d．任意坐标系中的外微分型 347
练习3．6d 356
a．必要条件 357
3．7 最大与最小 357
b．例 360
练习3．7b 362
c．带有附加条件的最大与最小 363
练习3．7c 367
d．最简单情形下不定乘数法的证明 368
练习3．7d 370
e．不定乘数法的推广 371
练习3．7e 375
f．例 375
练习3．7f 379
A．1 极值的充分条件 381
附录 381
练习A．1 387
A．2 临界点的个数与向量场的指数 389
练习A．2 397
A．3 平面曲线的奇点 397
练习A．3 400
A．4 曲面的奇点 400
练习A．4 401
A．5 流体运动的欧拉表示法与拉格朗日表示法之间的联系 401
练习A．5 403
A．6 闭曲线的切线表示法与周长不等式 403
练习A．6 405
解答 406