前言 1
第一章 如何看图 1
圆=椭圆=正方形？ 5
允许按相似分类 7
斜一点的话 9
认识一下“伸与缩” 10
应该重视图形的哪部分？ 12
集中在一起 14
重要的东西是不能变的 18
另一种变形 20
第二章 让我们一起来转铅笔 25
缓坡与急坡 26
三度的角 28
三角形的内角和 30
小学里是怎么学的？ 31
转一下手中的铅笔吧 33
转半圈就是180゜ 36
星形图案的转动方法 38
也能转上好几圈 40
三角形与星形是一样的 42
在地球上画一条线 43
可以移动吗？ 45
第三章 论证与计算 49
计算量的减轻 50
几何=证明？ 52
发现是重要的 54
几何是对美的追求 56
勾股定理的证明 58
你认为线是什么？ 61
无理数的登场 64
改变了数学的无理数 67
第四章 证明的产生 69
飞行在空中的箭是停止的？! 70
悖论的主要成因 72
最初的证明 74
对经验主义的批判 76
被认为是正确的东西 78
出发点很重要 80
欧几里得真的存在吗？ 82
对欧几里得的评价 83
第五章 头脑的锻炼 85
五个出发点 86
越精炼越好 88
演绎的方法 91
圆与直线的几何 92
柏拉图的影响 94
上流阶层的必要修养 96
为了锻炼头脑 98
最大的难题是什么？ 100
工具的增加 102
奴隶制带来的难题 104
第六章 从直线与圆到圆锥曲线 107
阿基米德的看法 108
圆锥曲线的必然性 111
把圆锥切开 113
阿波罗尼乌斯的看法 115
什么是焦点？ 116
焦点的利用 119
把图形看成立体的 120
阿波罗尼乌斯的影响 121
海伦的消失 122
海伦公式深一层的意义 124
第七章 为何进入黑暗时代 129
休眠的时代？ 130
《原论》与黑暗时代的关系 133
混乱的大转移 137
对学者的迫害 140
经院派的任务 142
经院派的界限 144
欧几里得是阿拉伯人？ 147
全世界都是黑暗的吗？ 149
部分的黑暗 152
阿拉伯数字被禁止的理由 154
代数=“移项” 156
第八章 代数与几何的结合 159
文字式的引入 160
坐标的方便程度 162
曲线公式 164
费马与笛卡儿见解不同 166
欧洲与亚洲的结合 168
第九章 如何摆脱黑暗时代 173
以人为中心的主观主义 174
反经院派的成长背景 176
四大发明 178
四大发明的影响 181
射影=斜映？ 184
射影的利用 188
射影几何的影响 190
跳级的问题 194
第十章 欧几里得以外的几何 197
萨克里的看法 198
真可惜!萨克里 200
第五公设的否定 202
高斯的理论不敢发表 204
黑格尔的错误 206
哲学与数学 208
儿子的挑战 211
J.鲍耶的悲剧 213
罗巴切夫斯基的几何 215
第十一章 非欧几何的现实性 219
没有平行线的几何 220
三角形的内角和的变化 224
克莱因的模型 226
是近了还是远了？ 229
宇宙是非欧几里得的 232
第十二章 几何的复兴 237
几何变成了军事机密 238
橡皮膜的几何 241
一笔画的要点 242
欧拉标数 246
三体问题的思考方法 248
因笨手笨脚而产生的几何 252
爱尔兰根大学的就职演讲 256
重新看待克莱因的方法 259
没有表里的曲面 261
克莱因瓶 263
第十三章 形式主义和直观主义 265
什么是形式主义？ 266
三种看法 268
大学和浴室是相同的？ 270
哥德尔的冲击 272
关于未来 274
附录 277
附录1 切割线定理的证明 278
附录2 关于椭圆镜的性质 288
附录3 椭圆性质的证明 290
附录4 帕斯卡六边形定理的证明 294
后记 298
参考文献 299