第一章 集合与映射 1
§1 集合 1
集合 1
集合运算 4
前言 5
有限集与无限集 6
Descartes乘积集合 8
习题 9
§2映射与函数 10
映射 10
一元实函数 14
初等函数 15
函数的分段表示，隐式表示与参数表示 16
函数的简单特性 19
两个常用不等式 21
习题 23
第二章 数列极限 25
§1 实数系的连续性 25
实数系 25
最大数与最小数 27
上确界与下确界 27
附录 Dedekind切割定理 30
习题 32
§2 数列极限 33
数列与数列极限 33
数列极限的性质 38
数列极限的四则运算 41
习题 43
§3 无穷大量 45
无穷大量 45
待定型 47
习题 50
单调有界数列收敛定理 51
§4 收敛准则 51
π和е 55
闭区间套定理 59
子列 61
Bolzano-Weierstrass定理 62
Cauchy收敛原理 63
实数系的基本定理 65
习题 67
第三章 函数极限与连续函数 70
§1 函数极限 70
函数极限的定义 70
函数极限的性质 73
函数极限的四则运算 76
函数极限与数列极限的关系 77
单侧极限 79
函数极限定义的扩充 79
习题 84
§2 连续函数 86
连续函数的定义 86
连续函数的四则运算 89
不连续点的类型 89
反函数连续性定理 91
复合函数的连续性 93
习题 96
§3 无穷小量与无穷大量的阶 98
无穷小量的比较 98
无穷大量的比较 100
等价量 102
习题 105
§4 闭区间上的连续函数 106
有界性定理 106
最值定理 107
零点存在定理 108
中间值定理 109
一致连续概念 109
习题 114
§1 微分和导数 116
微分概念的导出背景 116
第四章 微分 116
微分的定义 117
微分和导数 119
习题 120
§2 导数的意义和性质 121
产生导数的实际背景 121
导数的几何意义 122
单侧导数 127
习题 129
从定义出发求导函数 130
§3 导数四则运算和反函数求导法则 130
求导的四则运算法则 132
反函数求导法则 135
习题 139
§4 复合函数求导法则及其应用 140
复合函数求导法则 140
一阶微分的形式不变性 144
参数形式的函数的求导公式 146
习题 150
§5 高阶导数和高阶微分 152
高阶导数的实际背景及定义 152
高阶导数的运算法则 155
高阶微分 160
习题 162
第五章 微分中值定理及其应用 164
§1 微分中值定理 164
极值与Fermat引理 164
Rolle定理 166
Lagrange中值定理 168
用Lagrange中值定理讨论函数性质 170
Cauchy中值定理 176
习题 178
待定型极限和L’Hospital法则 180
§2 L’Hospital法则 180
可化为0/0型或?型的极限 184
习题 188
§3 插值多项式和Taylor公式 189
插值多项式和余项 189
Lagrange插值多项式和Taylor公式 192
习题 196
§4 函数的Taylor公式及其应用 198
函数在x＝0处的Taylor公式 198
Taylor公式的应用 203
习题 210
函数作图 212
§5 应用举例 212
最值问题 217
数学建模 221
习题 224
§6 函数方程的近似求解 226
解析方法和数值方法 226
二分法 227
Newton迭代法 228
计算实习题 233
§1 不定积分的概念和运算法则 235
微分的逆运算——不定积分 235
第六章 不定积分 235
不定积分的线性性质 237
习题 240
§2 换元积分法和分部积分法 241
换元积分法 241
分部积分法 246
习题 251
§3 有理函数的不定积分及其应用 253
有理函数的不定积分 253
可化成有理函数不定积分的情况 257
习题 260
定积分概念的导出背景 263
第七章 定积分 263
§1 定积分的概念和可积条件 263
定积分的定义 266
Darboux和 267
Riemann可积的充分必要条件 270
习题 276
§2 定积分的基本性质 276
习题 282
§3 微积分基本定理 283
从实例看微分与积分的联系 283
微积分基本定理——Newton-Leibniz公式 285
定积分的换元积分法和分部积分法 289
习题 297
§4 定积分在几何中的应用 299
求平面图形的面积 299
求曲线的弧长 305
求某些特殊形状的几何体的体积 309
求旋转体的侧面积 312
习题 314
附录 常用几何曲线图 317
§5 微积分实际应用举例 320
微元法 320
由静态分布求总量 320
求动态效应 323
简单数学模型和求解 324
从Kepler行星运动定律到万有引力定律 327
习题 329
§6 定积分的数值计算 331
数值积分 331
Newton-Cotes求积公式 331
复化求积公式 336
Gauss型求积公式 338
计算实习题 340
反常积分 342
§1 反常积分的概念和计算 342
第八章 反常积分 342
反常积分计算 348
习题 353
计算实习题 354
§2 反常积分的收敛判别法 355
反常积分的Cauchy收敛原理 355
非负函数反常积分的收敛判别法 356
一般函数反常积分的收敛判别法 357
无界函数反常积分的收敛判别法 360
习题 364
索引 367