第一章 复变函数及其极限和连续性 1
§1-1 复数及其运算 1
一、复数的概念与几何表示——复平面 1
二、复数的模与辐角 2
三、复数相等的条件及其基本运算 4
四、复球面与扩充复平面 8
习题一 9
习题答案 11
§1-2 复平面曲线与区域 11
一、复平面曲线方程 11
二、简单曲线与光滑曲线 13
三、平面点集与区域 14
习题二 16
习题答案 17
§1-3 复变函数与整线性映射 18
一、复变函数的概念 18
二、映射——复变函数的几何意义 19
三、整线性映射及其保圆性 22
习题三 23
习题答案 24
§1-4 复变函数的极限和连续 24
一、复变函数的极限 24
二、复变函数的连续性 26
习题四 28
习题答案 28
一、复变函数的导数和微分 29
第二章 解析函数 29
§2-1 导数与函数可导的充要条件 29
二、函数在一点可导的充要条件 33
习题一 37
习题答案 37
§2-2 函数解析的概念和充要条件 38
一、函数解析的概念和充要条件 38
二、解析函数的运算和举例 39
三、指数函数ez及其性质 41
习题二 42
习题答案 43
§2-3 初等解析函数 44
一、对数函数 44
二、幂函数 46
三、三角函数和双曲函数 47
四、反三角函数与反双曲函数 49
习题三 50
习题答案 51
§2-4 平面场的复势 52
一、复变函数与平面向量场 52
二、平面流速场的复势 53
三、静电场的复势 57
习题四 60
习题答案 60
§3-1 复积分的概念与简单性质 61
一、复积分的概念 61
第三章 复积分 61
二、复积分的存在定理和一般计算公式 62
三、复积分的简单性质 64
习题一 66
习题答案 67
§3-2 柯西(Cauchy)积分定理和积分与路径无关的条件 67
一、柯西-古萨(Cauchy-Gonrsat)基本定理 67
二、单连域内解析函数的原函数 70
三、复闭路定理 72
习题二 74
习题答案 76
§3-3 柯西积分公式和高阶导数公式 76
一、解析函数的柯西积分公式 76
二、解析函数的高阶导数 78
三、解析函数与调和函数的关系 81
习题三 84
习题答案 87
一、复数列及其收敛的充要条件 88
第四章 复级数 88
§4-1 复数项级数和幂级数 88
二、复数项级数及其收敛性判别法 89
三、幂级数及其收敛半径 90
四、幂级数的运算及其性质 94
习题一 97
习题答案 98
§4-2 台劳(Taylor)级数 99
一、台劳级数展开定理 99
二、初等函数的台劳级数展开式 103
习题二 109
习题答案 110
§4-3 罗伦(Laurent)级数 111
习题三 118
习题答案 119
§5-1 函数的孤立奇点和留数的概念 121
一、孤立奇点和留数的概念 121
第五章 留数及其在积分计算中的应用 121
二、孤立奇点的分类 123
三、函数在无穷远点的性态 125
四、用函数的零点判别极点的类型 126
习题一 128
习题答案 129
§5-2 留数定理和留数的计算 130
一、留数定理 130
二、留数的计算规则和复积分计算 131
三、不定型极限的计算规则 133
四、函数在孤立奇点无穷处留数的计算 138
习题二 139
习题答案 141
§5-3 留数在定积分计算中的应用 142
一、形如?的积分 142
二、形如?的积分 145
三、形如?的积分 148
习题三 151
习题答案 152
§5-4 零点个数的计算 152
一、对数留数 152
二、辐角原理 154
三、路西(Rouche’)定理 156
习题四 158
第六章 保角映射 159
§6-1 保角映射的概念 159
一、曲线的切线方向和两条曲线的夹角 159
二、解析函数导数的几何意义 160
三、保角映射的概念和定理 163
习题一 164
习题答案 165
§6-2 分式线性映射及其性质 165
一、在扩充复平面上的保圆性 166
二、在扩充复平面保持交比的不变性 167
三、对扩充复平面上圆周的保对称性 171
四、对有向圆周和直线的保侧性 173
五、三种特殊的分式线性映射 178
习题二 183
习题答案 184
§6-3 几个初等函数所构成的映射 184
一、对数映射ω=lnz和指数映射ω=e~z 184
二、幂映射ω=z~n及其逆映射(n=2，3，…) 186
三、儒可夫斯基(Н．Е．Жуковский)函数 194
习题三 197
习题答案 198
§6-4 保角映射几个一般性定理及其应用 199
一、保角映射的几个一般性定理 200
二、许瓦尔兹-克力斯托夫(Schwarz-Christoffel)映射——多角形映射 202
三、用保角映射解Laplace方程边值问题 212
习题四 215
习题答案 216
附录 本书参考文献和推荐参考书 217