第三编 积分学 1
第八章 不定积分 1
8.1 原函数与不定积分 1
一、原函数概念及其性质 1
二、不定积分概念 1
8.2 不定积分计算 3
一、基本积分表 3
二、分项积分法 4
三、第一换元积分法(凑微分法) 6
四、第二换元积分法 10
五、分部积分法 13
8.3 常微分方程初步 16
一、基本概念 17
二、变量可分离方程 20
三、齐次方程 22
四、一阶线性微分方程 25
五、可降价的高阶微分方程 28
教学要求 33
练习题 34
第九章 定积分 36
9.1 定积分概念及性质 36
一、定积分问题举例 36
二、定积分的定义 37
三、可积的条件 38
四、定积分的性质 39
9.2 微积分基本定理 42
一、变上限定积分概念、微积分基本定理 42
二、牛顿-莱布尼兹公式 43
9.3 定积分计算 46
一、用N-L公式计算定积分 46
二、定积分的近似计算 51
9.4 广义积分 54
一、广义积分概念 54
二、两类广义积分的关系 56
三、广义积分的计算 57
一、概述--微元法 58
9.5 定积分的应用 58
二、平在图形的面积 60
三、体积 62
四、平面曲线的弧长 64
五、物理应用举例 67
教学要求 69
练习题 70
第十章 含参量积分 74
一、含参量积分的概念 74
二、含参量积分的连续性 74
三、含参量积分的导数 75
四、含参量积分的积分 78
五、Γ函数与B函数 79
教学要求 83
练习题 83
第十一章 多元函数的积分 85
11.1 多元函数积分的概念和性质 85
一、多元函数积分问题举例 85
二、多元函数积分的定义 86
三、多元函数积分的性质 88
11.2 二重积分的计算 88
一、基本公式 88
二、变量代换 92
一、基本公式 98
11.3 三重积分的计算 98
二、变量代换 99
11.4 曲面积分的计算 101
一、曲面的面积元 101
二、基本公式 102
11.5 曲线积分的计算 105
一、曲线的线元 105
二、基本公式 105
11.6 多元函数积分的应用 107
一、重心 107
二、转动惯量 109
三、引力 110
练习题 112
教学要求 112
第十二章 向量函数的积分 116
12.1 向量函数积分问题举例 116
一、弧对质点的引力 116
二、变力沿曲线作功 116
三、穿过曲面的流量 117
12.2 向量函数积分的定义 118
一、向量函数在几何形Ω上的第一型积分 118
二、向量函数在曲线上的第二型积分 118
三、向量函数在曲面上的第二型积分 120
12.3 向量函数第二型积分的计算 121
一、第二型曲线积分的计算 121
二、第二型曲面积分的计算 123
12.4 格林(Green)公式及其应用 126
一、格林公式 126
二、平面上曲线积分与路径无关的条件 129
三、二元函数全微分求原函数 131
12.5 高斯(Gauss)公式及其应用 132
一、高斯公式 132
二、向量场的散度 135
三、曲面积分与曲面无关的条件 136
12.6 斯托克斯(Stokes)公式及其应用 137
一、斯托克斯公式 137
二、空间曲线积分与路径无关的条件 140
四、向量场的旋度 141
三、三元函数的全微分求原函数 141
教学要求 144
练习题 144
第十三章 复函数的积分 148
13.1 复函数积分的概念和性质 148
一、复函数的不定积分 148
二、复函数沿曲线积分 148
13.2 柯西(Cauchy)定理 153
一、基本定理 153
二、解析函数原函数的存在性 154
三、复合闭路定理 156
一、用积分表示解析函数 158
13.3 解析函数的任意阶可导性 158
二、用积分表示解析函数的导数 159
三、解析函数的任意阶可导性 160
四、解析函数的一些重要性质 162
教学要求 163
练习题 164
第十四章 积分学综合练习 167
一、几何量的计算 167
二、物理量的计算 167
三、用积分计算社会、经济问题中的一些数量 167
四、分布函数及其应用 169
五、用含参量积分表示函数 172
一、数项级数及其收敛性 173
15.1 数项级数的基本概念及性质 173
第四编 无穷级数与微分方程 173
第十五章 数项级数 173
二、收敛级数的基本性质 175
15.2 数项级数的判敛原则 176
一、级数收敛的充要条件 176
二、级数收敛的必要条件 177
三、级数收敛的充分条件 178
15.3 实常数项级数的收敛判别法 178
一、正项级数及其收敛判别法 178
二、交错级数及其收敛判别法 184
15.4 数项级数的绝对收敛和条件收敛 185
15.5 广义积分的收敛判别法 187
教学要求 190
练习题 190
第十六章 幂级数与洛朗(Laurent)级数 193
16.1 函数项级数 193
一、函数项级数的概念 193
二、函数项级数的一致收敛性 193
三、和函数的性质 194
16.2 幂级数 195
一、幂级数的收敛特性 195
二、幂级数的运算和性质 198
三、解析函数的泰勒展式 200
一、双边幂级数 204
16.3 洛朗级数 204
二、解析函数的洛朗展式 205
16.4 解析函数的孤立奇点及留数 209
一、解析函数的孤立奇点及分类 209
二、留数的概念及性质 213
三、留数的计算方法 215
四、函数在无穷远点的留数 217
五、用留数计算实积分 219
教学要求 224
练习题 225
一、傅里叶级数的概念 228
二、函数系{e-inωx|n=0,±1,…}的正交性 228
第十七章 傅里叶(Fourier)级数与积分变换 228
17.1 傅里叶级数 228
三、傅里叶系数 229
四、傅里叶级数的实数形式 230
五、傅里叶级数的收敛性 231
六、傅里叶级数的逐项求积与逐项求导 232
七、函数展开成傅里叶级数(实数形式) 233
八、频谱分析 241
17.2 傅里叶积分与傅里叶变换 242
一、傅里叶积分 242
二、傅里叶变换 245
三、拉普拉斯变换 247
教学要求 249
练习题 249
第十八章 微分方程 251
18.1 全微分方程、积分因子 251
一、全微分方程 251
二、积分因子 252
18.2 高阶线性微分方程 253
一、二阶齐次线性方程的解的结构 253
二、二阶非齐次线性方程的解的结构 254
三、常数变易法 255
18.3 二阶常系数齐次线性微分方程 257
18.4 二阶常系数非齐次线性微分方程 260
一、f(x)=eλxPm(x)型 260
二、f(x)=eλx［Pl(x)cosωx+Pn(x)sinωx］型 261
18.5 欧拉(Euler)方程 264
18.6 微分方程的幂级数解法 265
18.7 数值计算方法 267
一、方向场 267
二、欧拉方法 268
三、预估-校正方法 269
18.8 简单常系数线性微分方程组 270
教学要求 271
练习题 272