第0章 数域、映射 1
0．1 数域 1
0．2 映射 1
第1章 矩阵与行列式 3
1．1 矩阵 3
1．1．1 矩阵的概念 3
1．1．2 矩阵的运算 5
习题1．1(A) 8
习题1．1(B) 9
1．2 行列式及其计算 9
1．2．1 排列的逆序数 9
1．2．2 行列式的定义及其性质 10
1．2．3 行列式的计算与矩阵的初等变换 13
习题1．2(A) 15
习题1．2(B) 16
1．3 行列式按一行(列)展开 克拉默法则 17
1．3．1 行列式按一行(列)展开 17
1．3．2 克拉默法则 19
1．3．3 矩阵的分块、拉普拉斯定理 20
习题1．3(A) 22
习题1．3(B) 22
1．4 逆矩阵 23
1．4．1 伴随矩阵与矩阵的可逆性 24
1．4．2 用初等变换求逆矩阵的方法 25
习题1．4(A) 26
习题1．4(B) 27
独立作业1 27
综合练习1 28
第2章 向量代数及曲面与曲线 29
2．1 向量代数 29
2．1．1 自由向量 29
2．1．2 向量的加法与数乘 29
2．1．3 向量在数轴(或另一向量)上的代数射影 31
2．1．4 空间直角坐标系、向量与点的坐标 31
2．1．5 两向量的内积(数量积、点乘积) 33
2．1．6 两向量的外积(向量积、叉乘积) 35
2．1．7 三向量的混合积与二重向量积 36
习题2．1(A) 39
习题2．1(B) 40
2．2 空间的平面与直线 40
2．2．1 曲面与方程的关系，球面的方程 41
2．2．2 平面与三元一次方程 41
2．2．3 空间直线的方程 42
2．2．4 关于平面、直线的若干问题 44
2．2．5 柱面坐标系、球面坐标系简介，杂例 45
习题2．2(A) 48
习题2．2(B) 49
2．3 曲线与曲面的参数方程 柱面、锥面与旋转面 49
2．3．1 曲线与曲面的参数方程 49
2．3．2 柱面 51
2．3．3 锥面 52
2．3．4 旋转面 52
2．3．5 五种典型的二次曲面 54
2．3．6 曲线在坐标面上的投影 57
习题2．3(A) 58
独立作业2 59
综合练习2 59
第3章 线性空间与线性方程组 62
3．1 n维向量空间 向量的线性相关性 62
3．1．1 n维向量空间的定义 62
3．1．2 向量的线性相关性 63
3．1．3 齐次线性方程组有非零解的一个充分条件 64
3．1．4 极大线性无关组与向量组的秩 66
习题3．1(A) 67
习题3．1(B) 67
3．2 矩阵的秩 线性方程组解的存在性 68
3．2．1 矩阵的秩 68
3．2．2 矩阵运算与矩阵的秩 69
3．2．3 矩阵的秩与行列式的关系 70
3．2．4 线性方程组解的存在性 71
3．3 线性方程组解的结构 72
3．3．1 齐次线性方程组的基础解系、解空间 72
3．3．2 非齐次线性方程组解的结构 74
习题3．2～3．3(A) 76
3．4 线性空间的概念 77
习题3．4(A) 78
3．5 线性空间的维数 线性子空间 79
3．5．1 线性空间的维数、基 79
3．5．2 线性空间的基变换、坐标变换 80
3．5．3 线性子空间 81
3．5．4 线性空间的同构 83
习题3．5(A) 84
习题3．5(B) 85
独立作业3 85
综合练习3 86
第4章 欧氏空间 87
4．1 欧氏空间的基本概念 87
4．1．1 内积及其基本性质 87
4．1．2 范数与夹角 89
4．1．3 度量矩阵 90
4．2 标准正交基 91
4．2．1 标准正交基及其基本性质 91
4．2．2 格拉姆-施密特(Gram—Schmidt)正交化方法 93
4．2．3 正交矩阵 95
4．2．4 矩阵的QR只分解 96
习题4．1～4．2(A) 98
习题4．1～4．2(B) 100
4．3 正交分解和最小二乘法 101
4．3．1 正交分解和正交射影 101
4．3．2 最佳逼近和最小二乘法 103
习题4．3(A) 106
独立作业4 107
综合练习4 108
第5章 特征值与特征向量 109
5．1 矩阵的特征值与特征向量 109
5．2 相似矩阵与矩阵的对角化 115
5．2．1 相似矩阵 115
5．2．2 矩阵可对角化的条件 116
5．2．3 实对称矩阵的性质与对角化问题 118
习题5．1～5．2(A) 123
习题5．1～5．2(B) 125
独立作业5 125
综合练习5 125
第6章 二次型与二次曲面 127
6．1 二次型 127
6．1．1 二次型及其矩阵表示 127
6．1．2 二次型的标准形 128
6．1．3 合同变换与惯性定理 132
6．1．4 正定二次型与正定矩阵 133
习题6．1(A) 137
习题6．1(B) 138
6．2 二次曲面的标准方程 139
6．2．1 坐标变换 139
6．2．2 二次曲面方程的化简与二次曲面的分类 140
习题6．2(A) 143
独立作业6 144
综合练习6 144
第7章 线性变换 146
7．1 线性变换及其运算 146
7．1．1 线性变换的定义及其基本性质 146
7．1．2 核与值域 148
7．1．3 线性变换的运算 150
习题7．1(A) 152
习题7．1(B) 155
7．2 线性变换的矩阵表示 155
7．2．1 线性变换的矩阵 155
7．2．2 线性算子在不同基下矩阵之间的关系 160
习题7．2(A) 162
习题7．2(B) 164
7．3 不变子空间 164
7．3．1 不变子空间 164
7．3．2 线性算子的特征值与特征向量 165
习题7．3(A) 167
习题7．3(B) 168
独立作业7 168
附录 习题答案与提示 168