第一章 引言 1
1．1 实数连续统 1
a．自然数系及其扩充．计数和度量 2
b．实数和区间套 7
c．十进小数．其他进位制 9
d．邻域的定义 13
e．不等式 14
1．2 函数的概念 19
a．映射——图形 21
b．单连续变量的函数概念的定义．函数的定义域和值域 24
c．函数的图形表示．单调函数 27
d．连续性 34
e．中间值定理．反函数 47
1．3 初等函数 51
a．有理函数 51
b．代数函数 52
c．三角函数 53
d．指数函数和对数函数 55
e．复合函数．符号积．反函数 56
1．4 序列 60
1．5 数学归纳法 61
1．6 序列的极限 65
a．an＝1/n 66
b．a2m＝1/m；a2_(m－1)＝1/2m 67
c．an＝n/(n＋1) 68
d．an＝n?p 69
e．an＝an 70
f．an和n?p的极限之几何解释 71
g．几何级数 73
h．an＝n?n 74
i．an＝?n＋1－?n 75
j．an＝n/an，其中a>1 75
1．7 再论极限概念 76
a．收敛和发散的定义 76
b．极限的有理运算 77
c．内在的收敛判别法．单调序列 79
d．无穷级数及求和符号 81
e．数e 84
f．作为极限的数π 87
1．8 单连续变量的函数的极限概念 89
a．初等函数的一些注记 94
补篇 96
S1 极限和数的概念 97
a．有理数 98
b．有理区间套序列定义实数 99
c．实数的顺序、极限和算术运算 101
d．实数连续统的完备性．闭区间的紧致性．收敛判别法则 104
e．最小上界和最大下界 107
f．有理数的可数性 108
S2 关于连续函数的定理 110
S3 极坐标 112
S4 关于复数的注记 114
问题 117
第二章 积分学和微分学的基本概念 134
2．1 积分 135
a．引言 135
b．作为面积的积分 136
c．积分的分析定义．表示法 139
2．2 积分的初等实例 143
a．线性函数的积分 144
b．x~2的积分 146
c．x~α的积分(α是不等于-1的整数) 147
d．x~α的积分(α是不等于-1的有理数) 150
e．sin x和cos x的积分 151
2．3 积分的基本法则 153
a．可加性 153
b．函数之和的积分．函数与常数乘积的积分 155
c．积分的估值 156
d．积分中值定理 158
2．4 作为上限之函数的积分——不定积分 161
a．对数函数的定义 163
2．5 用积分定义对数 163
b．对数的加法定理 165
2．6 指数函数和幂函数 168
a．数的e的对数 168
b．对数函数的反函数．指数函数 169
c．作为幂的极限的指数函数 171
d．正数的任意次幂的定义愤 172
任一底的指数 173
2．7 x的任意次幂的积分 174
2．8 导数 175
a．导数与切线 176
b．作为速度的导数 183
c．微分法举例 184
d．一些基本的微分法则 187
e．函数的可微性和连续性 187
f．高阶导数及其意义 190
g．导数和差商．莱布尼兹表示法 192
h．微分中值定理 194
i．定理的证明 196
j．函数的线性近似．微分的定义 201
k．关于在自然科学中的应用的一点评述 206
2．9 积分、原函数和微积分基本定理 207
a．不定积分的导数 207
b．原函数及其与积分的关系 209
c．用原函数计算定积分 213
d．例 214
补篇 连续函数的定积分的存在性 216
问题 220
第三章 微分法和积分法 227
第一部分 初等函数的微分和积分 227
3．1 最简单的微分法则及其应用 227
a．微分法则 227
b．有理函数的微分法 230
c．三角函数的微分法 232
a．一般公式 233
3．2 反函数的导数 233
b．n次幂的反函数：n次根 236
c．反三角函数——多值性 237
d．相应的积分公式 241
e．指数函数的导数与积分 243
3．3 复合函数的微分法 244
a．定义 244
b．链式法则 244
c．广义微分中值定理 249
3．4 指数函数的某些应用 250
a．用微分方程定义指数函数 251
b．连续复利．放射性蜕变 251
c．物体被周围介质冷却或加热 253
d．大气压随地面上的高度的变化 254
e．化学反应过程 255
f．电路的接通或断开 255
3．5 双曲函数 256
a．分析的定义 256
b．加法定理和微分公式 259
c．反双曲函数 260
d．与三角函数的其他相似性 262
3．6 最大值和最小值问题 265
a．曲线的下凸和上凸 265
b．最大值和最小值——极值问题．平稳点 267
a．量阶的概念．最简单的情形 278
3．7 函数的量阶 278
b．指数函数与对数函数的量阶 279
c．一点注记 281
d．在一点的邻域内函数的量阶 282
e．函数趋向于零的量阶 283
f．量阶的“O”和“O”表示法 283
附录 286
A1 一些特殊的函数 286
a．函数y=e~-x~2 287
b．函数y=e~-x 288
c．函数y=tanh1/x 288
d．函数y=xtanh1/x 289
e．函数y=xsin1/x，y(0)=0 290
A2 关于函数可微性的注记 291
第二部分 积分法 293
3．8 初等积分表 295
3．9 换元法 296
a．换元公式．复合函数的积分 296
b．换元公式的另一种推导方法 301
c．例．积分公式 303
3．10 换元法的其他实例 304
3．11 分部积分法 308
a．一般公式 308
b．分部积分的其他例子 310
c．关于f(b)＋f(a)的积分公式 311
d．递推公式 312
e．π的沃里斯(Wallis)无穷乘积表示 314
3．12 有理函数的积分法 317
a．基本类型 318
b．基本类型的积分 319
c．部分分式 321
d．分解成部分分式举例．待定系数祛 323
3．13 其他几类函数的积分法 326
a．圆和双曲线的有理表示法初阶 326
b．R(cos x，sin x)的积分法 329
e．R(x，?x~2－1)的积分法 330
c．R(cosh x，sinh x)的积分法 330
d．R(x，?1－x~2)的积分法 330
f．R(x，?x~2＋1)的积分法 331
g．R(x，?ax~2＋2bx＋c)的积分法 331
b．化为有理函数积分的其他例子 332
i．注记 333
第三部分 积分学的进一步发展 334
3．14 初等函数的积分 334
a．用积分定义的函数．椭圆积分和椭圆函数 334
3．15 积分概念的推广 337
a．引言．反常积分的定义 337
b．关于微分和积分 337
b．无穷间断的函数 340
c．作为面积的解释 341
d．收敛判别法 342
e．无穷区间上的积分 343
f．Γ(伽玛)函数 345
g．狄利克雷(Dirichlet)积分 347
h．变量置换．菲涅耳(Fresnel)积分 348
3．16 三角函数的微分方程 350
a．关于微分方程的初步说明 350
b．由微分方程和初始条件定义的sin x和cos x 350
问题 352