第1章 对象和误差 1
1．1 计算方法的对象与特点 1
1．1．1 研究的对象 1
1．1．2 主要特点 1
本书用法说明 1
符号表 2
1．1．3 基本线索 2
1．2 误差与有效数字 3
1．2．1 误差的来源及分类 3
1．2．2 误差概念 5
1．2．3 有效数字 5
1．3．1 算术运算结果的误差界 6
1．3 误差分析 6
1．3．2 函数求值的误差估计 7
1．3．3 误差分析的方法 9
1．4 数值运算的一些简单原则 12
第2章 插值法 16
2．1 引言 16
2．1．1 插值的意义 16
2．1．2 插值问题的提法 16
2．1．3 插值多项式的存在唯一性 17
2．1．4 插值法的主要线索 18
2．2 Lagrange插值 18
2．2．1 基函数 18
2．2．2 Lagrange插值多项式 20
2．2．3 余项 21
2．3 Aitken法 22
2．3．1 问题的提出 22
2．3．2 Aitken法的描述 23
2．3．3 计算工作量 24
2．4 均差与Newton插值 26
2．4．1 均差 26
2．4．2 Newton插值公式 27
2．4．3 计算工作量 28
2．5 差分与等距节点插值 30
2．5．1 差分 30
2．5．3 Gauss公式 33
2．5．2 Newton差分插值公式 33
2．5．4 Stirling公式 35
2．5．5 Bessel公式 36
2．5．6 Everett公式 37
2．5．7 Steffensen公式 37
2．6 插值公式的几个问题 38
2．6．1 插值公式的使用 38
2．6．2 Fraser图表 41
2．6．3 插值公式求值用表 43
2．7 Hermite插值 47
2．7．1 一般提法 47
2．7．2 插值多项式的建立 48
2．7．3 余项 49
2．8．1 高次插值的问题 51
2．8 分段低次插值 51
2．8．2 分段线性插值 52
2．8．3 分段三次Hermite插值 54
2．9 样条插值 55
2．9．1 样条函数 55
2．9．2 B样条 56
2．9．3 三次样条插值问题的提法 58
2．9．4 均匀分划的三次样条插值函数 60
2．9．5 任意分划的三次样条插值函数 64
2．9．6 三次样条插值的收敛性 66
2．10．2 利用函数的插值多项式反插 69
2．10 反插值 69
2．10．1 插值与反插值 69
2，10．3 构造反函数的插值多项式 72
第3章 函数逼近与曲线拟合 74
3．1 一致逼近 74
3．2 最佳一致逼近 76
3．3 最小平方逼近 79
3．4 正交多项式 83
3．4．1 线性无关与正交函数族 83
3．4．2 Legendre多项式 86
3．4．3 Чебышев多项式 87
3．4．4 其他常用的正交多项式 90
3．5 用正交多项式作最小平方逼近 91
3．5．1 用Legendre多项式作平方逼近 92
3．5．2 截断Чебышев级数 94
3．6 近似最佳一致逼近 96
3．6．1 Taylor级数项数的节约 97
3．6．2 Чебышев多项式零点插值 98
3．7 Remes算法 100
3．8 曲线拟合的最小二乘法 102
3．8．1 基本原理 102
3．8．2 一般的最小二乘逼近 104
3．8．3 多元最小二乘拟合 108
3．9 用正交多项式作最小二乘拟合 109
3．10．1 最小平方逼近与三角插值 111
3．10 Fourier逼近 111
3．10．2 快速Fourier变换(FFT) 116
3．11 有理逼近与连分式 120
3．12 最佳有理逼近 125
3．13 有理函数插值 130
3．13．1 有理插值的存在唯一性 130
3．13．2 Thiele倒差商算法 132
3．14 pade逼近 134
3．15 Maehly逼近 140
3．16 函数的连分式展开 144
第4章 数值积分与数值微分 153
4．1 引言 153
4．2．1 公式的一般形式 154
4．2 Newton-Cores求积公式 154
4．2．2 梯形公式 156
4．2．3 Simpson公式 157
4．2．4 高阶Newton-Cotes公式 158
4．2．5 开型Newton-Cotes公式 159
4．3 复化求积公式 161
4．3．1 复化梯形公式 161
4．3．2 复化Simpson公式 162
4．3．3 复化求积公式的收敛性 163
4．3．4 区间逐次分半法 164
4．4．1 Richardson外推算法 167
4．4 Richardson外推算法和Romberg积分法 167
4．4．2 Romberg积分法 169
4．5 Gauss求积公式 173
4．6．1 一般理论 174
4．5．2 Gauss-Legendre求积公式 176
4．5．3 Gauss-Laguerre求积公式 181
4．5．4 Gauss-Hermite求积公式 181
4．5．5 Gauss-Чебышев求积公式 182
4．6 伪-Gauss求积公式 183
4．6．1 Radau求积公式 183
4．6．2 Lobatto求积公式 185
4．7 Чебышев求积法 187
4．8 三次样条求积法 191
4．8．1 一般情况的求积公式 192
4．8．2 简单情况的求积公式 193
4．9 自适应积分法 195
4．9．1 自适应Simpson方法 195
4．9．2 计算步骤 198
4．10 奇异积分 201
4．10．1 积分变量替换 201
4．10．2 奇异性的解析处理 202
4．10．3 乘积积分 204
4．10．4 Канторович方法 206
4．10．5 Gauss求积 208
4．11．1 替换变量 211
4．11．2 截去无穷区间 211
4．11 无穷区间上的积分 211
4．12 重积分的数值计算 212
4．12．1 基本概念 212
4．12．2 梯形公式及其复化公式 214
4．12．3 Simpson公式及其复化公式 215
4．12．4 Gauss型求积公式 218
4．12．5 一般积分区域 220
4．13 数值微分的基本方法 221
4．13．1 数值微分的概念 221
4．13．2 用插值多项式求数值导数 222
4．13．3 将微分问题化为积分问题 226
4．13．4 用三次样条函数求数值微分 229
4．14 二阶导数 230
4．15 数值微分的外推算法 233
4．16．1 Gauss-Legendre求积公式的节点和系数 234
4．16 附表 234
4．16．2 Gauss-Laguerre求积公式的节点和系数 237
4．16．3 Gauss-Hermite求积公式的节点和系数 239
第5章 方程求根 241
5．1 引言 241
5．2 实根的隔离与二分法 242
5．3 迭代法 244
5．3．1 迭代法及其收敛性 244
5．3．2 迭代法的加速收敛 248
5．4 Newton法 249
5．5．1 弦截法 252
5．5 弦截法与抛物线法 252
5．5．2 抛物线法 254
5．6 代数方程求根问题 256
5．6．1 多项式求值与Newton法 256
5．6．2 根模的上下界 258
5．6．3 Sturm序列 260
5．7 Bernoulli方法 262
5．8 劈因子法 265
5．9 复根的隔离 269
5．10 复多项式的圆盘迭代法 275
5．11 代数方程求根的稳定性问题 281
6．1 引言 283
第6章 解线性代数方程组的直接法 283
6．2 Gauss消去法 284
6．2．1 方法的描述 284
6．2．2 矩阵的三角分解 287
6．2．3 行列式与逆矩阵计算 288
6．3 主元素Gauss消去法 290
6．3．1 全主元素消去法 290
6．3．2 列主元素消去法 293
6．4 Gauss-Jordan消去法 295
6．4．1 方法的描述 295
6．4．2 列主元Gauss-Jordan消去法 295
6．4．3 Gauss-Jordan法求逆矩阵 296
6．5 直接三角分解法 299
6．5．1 Doolittle分解法 300
6．5．2 列主元三角分解法 302
6．5．3 平方根法 305
6．5．4 改进的平方根法 307
6．5．5 追赶法 309
6．6 带型方程组的解法 311
6．6．1 带型方程组的列主元消去法 312
6．6．2 对称正定带型方程组的解法 315
6．7 大型稀疏方程组的解法 319
6．7．1 稀疏矩阵 319
6．7．2 压缩的存储形式 321
6．7．3 解稀疏方程组的三角分解法 322
6．8．1 化为实系数方程组求解 328
6．3．2 复线性方程组的列主元消去法 328
6．8 复线性代数方程组的解法 328
6．9 对称正定矩阵求逆及行列式的值 331
6．9．1 求行列式的值 331
6．9．2 求逆矩阵 333
6．10 误差分析 338
6．10．1 解的误差估计 338
6．10．2 扰动方程组解的误差界 340
6．10．3 病态方程组的解法 342
6．10．4 舍入误差 344
6．10．5 近似解精确度的检验 346
7．2 范数、序列极限、条件数 348
7．1 引言 348
7．2．1 向量范数 348
第7章 解线性方程组的迭代法 348
7．2．2 矩阵范数 350
7．2．3 序列极限 352
7．2．4 矩阵的条件数 355
7．3 矩阵理论 358
7．3．1 不可约性和对角占优矩阵 358
7．3．2 对称正定矩阵 359
7．3．3 性质 A 和相容次序 360
7．3．4 M-矩阵与正则分解 363
7．4 迭代法的收敛性 364
7．5 Jacobi迭代法和RF法 367
7．6 Gallss-Seidel迭代法 372
7．7 SOR迭代法 374
7．8 松弛因子的选取 377
7．8．1 最优松弛因子?的理论计算公式 377
7．8．2 ?的试算 381
7．9 SSOR迭代法 383
7．10 最优外推法 385
7．11．1 分块迭代法的计算过程 386
7．11．2 块(或线)迭代公式 388
7．11．3 块SOR迭代法的收敛性和最优松弛因子?的选取 390
7．11．4 交替方向隐式方法 392
7．12 不完全LU分解法和强隐式方法 399
7．12．1 不完全LU分解法 399
7．12．2 强隐式方法 404
7．13 最速下降法和共轭斜量法 410
7．13．1 等价极小值问题 410
7．13．2 最速下降法 411
7．13．3 共轭斜量法 412
7．14 共轭斜量加速方法 416
7．14．1 共轭斜量法的三项形式 416
7．14．2 共轭斜量加速法 417
7．15 Чебышев加速法 418
7．16 Lanczos加速法 421
7．17 GCW法的加速过程 423
7．17．1 GCW法 423
7．17．2 迭代矩阵B的特征值为纯虚数时的Чебышев加速法 424
6．7．4 对称正定稀疏方程组的解法 424
7．17．3 基于GCW法的广义CG加速过程 425
7．18 多重网格法 425
7．18．1 多重网格方法的基本原理 426
7．18．2 双网格方法 428
7．18．3 线性多重网格方法 434
7．18．4 完整的多重网格方法 438
7．19 行处理方法 439
7．20 压缩存储技巧 441
7．20．1 按行随机存储非对称稀疏矩阵 441
7．20．2 按行压缩存储对称矩阵 442
7．20．3 带型对称稀疏矩阵的存储 444
第8章 矩阵的特征直和特征向量 446
8．1 引言 446
8．2 幂法 447
8．3．1 原点平移法 450
8．3 幂法的加速方法 450
8．3．2 Aitken加速法 452
8．3．3 Rayleigh商加速 453
8．4 压缩方法 454
8．5 实对称矩阵的同时迭代法(子空间迭代法)与反同时迭代法 457
8．5．1 基本原理 457
8．5．2 同时迭代法的迭代过程 459
8．5．3 反同时迭代法 461
8．6．1 求按模最小的特征值 462
8．6 反幂法 462
8．6．2 计算给定的近似特征值相应的特征向量 463
8．7 Jacobi方法 465
8．7．1 原理和算法 465
8：7．2 循环Jacobi法 470
8．7．3 Jacobi过关法 471
8．8 Givens方法和Householder方法 472
8．8．1 Givens方法 473
8．8．2 Householder方法 476
8．9 用二分法求实对称三对角矩阵的特征值 482
8．9．1 Sturm序列 483
8．9．2 二分法 484
8．10 LR和QR算法 487
8．10．1 LR算法 487
8．10．2 无移位的QR算法 489
8．10．3 具有移位的QR算法 490
8．11 求实对称三对角矩阵特征值的QL算法 492
8．11．1 无移位的QL算法 492
8．11．2 具有移位的QL算法 495
8．12 广义特征值问题 499
8．12．1 特征值问题Ax=λBx 500
8．12．2 特征值问题ABx=λx 501
第9章 非线性方程组数值解法 503
9．1 引言 503
9．2 迭代法 506
9．2．1 迭代法的基本概念 506
9．2．2 压缩映射原理与迭代法收敛性 508
9．3 Newton法及其变形 510
9．3．1 Newton法 510
9．3．2 Newton法的收敛性 512
9．3．3 Newton-Steffensen方法 513
9．3．4 Newton-Щаманский方法 514
9．3．5 Newton下山法 515
9．4 Brown方法与Brent方法 516
9．4．1 Brown方法 516
9．4．2 Brent方法 521
9．5 Newton松弛型迭代法 524
9．5．1 Newton-SOR迭代法 524
9．5．2 非线性松弛迭代法 526
9．6 割线法 527
9．7 拟Newton法 533
9．7．1 拟Newton法的基本思想 533
9．7．2 Broyden方法 535
9．7．3 秩2校正公式 539
9．8 极小化方法 541
9．8．1 下降算法 542
9．8．2 最速下降法 543
9．8．3 共轭梯度法 545
9．9 延拓法 546
9．9．1 数值延拓法 547
9．9．2 参数微分法 549
9．10 单纯形算法 551
9．10．1 三角剖分与算法的基本思想 552
9．10．2 同伦算法 555
9．11 区间迭代法 559
10．1 引言 564
10．1．1 常微分方程的初值问题 564
第10章 常微分方程初值问题的数值方法 564
10．1．2 数值离散方法 565
10．2 显式单步法的一般概念 568
10．3 Euler方法 570
10．3．1 Euler方法 570
10．3．2 隐式Euler方法和梯形方法 572
10．3．3 改进的Ehler方法 573
10．4 Runge-Kutta方法 574
10．4．1 Runge-Kutta方法的一般形式 574
10．4．2 二阶Runge-Kutta方法 575
10．4．3 三阶Runge-Kutta方法 577
10．4．4 四阶Runge-Kutta方法 578
10．4．5 高阶Runge-Kutta方法 580
10．4．6 Runge-Kutta-Fehlberg方法 582
7．11 块迭代法和隐式交替方向迭代法 586
10．5 线性多步法 589
10．5．1 线性多步法的一般形式 589
10．5．2 Adams方法 592
10．5．3 Milne方法 595
10．5．4 Hamming方法 596
10．6 预测—校正方法 596
10．6．1 预测—校正的一般方法 596
10．6．2 Adams预测—校正方法 597
10．6．3 Hamming预测—校正方法 600
10．7 外推方法 600
10．7．1 外推的一般方法 600
10．7．2 Gragg外推方法 602
10．8．1 一阶微分方程组的数值方法 604
10．8 方程组和高阶方程的数值方法 604
10．8．2 高阶方程的数值方法 605
10．9 稳定性 606
10．9．1 单步法的绝对稳定性 607
10．9．2 线性多步法的绝对稳定性 611
10．9．3 方程组线性多步法的绝对稳定性 614
10．10 刚性方程组的数值方法 615
10．10．1 方程组的刚性现象 615
10．10．2 刚性方程组的数值方法 616
第11章 常微分方程边值问题的数值方法 620
11．1 引言 620
11．2 试射法 621
11．2．1 线性边值问题的试射法 621
11．2．2 非线性问题的试射法 623
11．3 有限差分方法 627
11．3．1 线性问题的差分方法 627
11．3．2 非线性问题的差分方法 633
11．4 变分方法 635
11．4．1 变分问题 635
11．4．2 变分问题的近似计算 638
11．5 有限元方法 642
11．5．1 线性元 643
11．5．2 高次元 649
11．6 样条函数方法 652
第12章 偏微分方程数值解法 655
12．1 椭圆型方程的差分解法 655
12．1．1 典型问题 655
12．1．2 网格和差分近似 656
12．1．3 差分格式的构造方法 657
12．1．4 通用的差分格式 659
12．1．5 边界条件的处理 661
12．2 双曲型方程的差分解法 666
12．2．1 典型问题 666
12．2．2 差分格式 668
12．2．3 对流方程的差分格式 674
12．2．4 波动方程的差分格式 679
12．3 抛物型方程的差分解法 683
12．3．1 典型问题 683
12．3．2 扩散方程的差分格式 684
12．3．3 对流扩散方程的差分格式 692
12．3．4 二维扩散方程 694
12．4 有限元方法 697
12．4．1 椭圆型边值问题的变分原理 698
12．4．2 三角形线性元 700
12．4．3 三角形单元上的高次插值 714
12．4．4 矩形单元 719
12．4．5 等参数单元 722
第13章 积分方程数值解法 724
13．1 引言 724
13．2 数值求积法 724
13．2．1 方法的一般描述 725
13．2．2 乘积积分法 727
13．2．3 修正的数值求积方法 729
13．2．4 重迭核方法 732
13．3 近似退化核替代法 733
13．4 矩量法 736
13．5 特征值问题 737
13．6 用多步法解第二类Volterra积分方程 740
13．7 用Runge-Kutta型方法解第二类Volterra积分方程 744
附录 748
1．三次样条插值 748
2．有理函数插值 753
3．正交多项式曲线拟合 756
4．二分法求方程的根 760
5．Romberg求积 762
6．Gauss求积和Robinson方法 765
7．列主元Gauss消去法 768
8．大型对称正定变带宽方程组的解法 771
9．对称带型方程组的解法 774
10．Gauss-Seidel迭代法求大型稀疏线性方程组的解 778
11．SOR迭代法求大型稀疏线性方程组的解 782
12．Чебышев加速法加速Jacobi迭代求解大型稀疏线性方程组 786
13．共轭斜量加速Jacobi迭代法求解大型稀疏线性方程组 794
14．Jcaobi方法求实对称矩阵的特征值和特征向量 800
15．求实矩阵全部特征值和特征向量的QR方法 803
16．解非线性方程组的Brown方法 821
17．解非线性方程组的割线法 827
18．解非线性方程组的Broyden方法 833
19．自适应Runge-Kutta方法 837
20．定步长Hamming方法 841
参考资料 846
中文—外文索引 850
外文—中文索引 868
外国人名表 887