第一章 一阶常微分方程 1
1·1 基本概念和基本思想 1
1·2 几何考虑·等斜线 7
1·3 可分离变量的方程 9
1·4 可化为可分离变量形式的方程 17
1·5 恰当微分方程 19
1·6 积分因子 22
1·7 一阶线性微分方程 25
1·8 电路 27
1·9 曲线族·正交轨线 33
1·10 解的存在性与唯一性 36
第二章 线性常微分方程 42
2·1 二阶齐次线性方程 42
2·2 常系数齐次二阶方程 45
2·3 通解·基本解组·初值问题 47
2·4 特征方程的实根、复根和重根 51
2·5 自由振动 55
2·6 柯西方程 62
2·7 解的存在性与唯一性 64
2·8 任意阶齐次线性方程 68
2·9 任意阶常系数齐次线性方程 71
2·10 非齐次线性方程 74
2·11 解非齐次线性方程的待定系数法 75
2·12 受迫振动·共振 78
2·13 电路 85
2·14 非齐次方程的一般解法 91
第三章 微分方程组·相平面·稳定性 94
3·1 微分方程组 94
3·2 相平面 99
3·3 奇点·稳定性 104
第四章 微分方程的幂级数解·正交函数 110
4·1 幂级数法 110
4·2 幂级数法的理论基础 114
4·3 勒让德方程和勒让德多项式 118
4·4 广义幂级数法·指示方程 123
4·5 贝塞尔方程和第一类贝塞尔函数 125
4·6 第二类贝塞尔函数 131
4·7 正交函数系 136
4·8 斯图姆一刘微尔问题 141
4·9 勒让德多项式和贝塞尔函数的正交性 146
第五章 拉普拉斯变换 150
5·1 拉普拉斯变换 150
5·2 导数与积分的拉普拉斯变换 153
5·3 在s-轴上的位移·在t-轴上的位移·单位阶梯函数 160
5·4 拉普拉斯变换的微分与积分 168
5·5 卷积 170
5·6 部分分式 175
5·7 周期函数进一步的应用 180
附 拉普拉斯变换表 188
第六章 向量微分学·向量？ 191
6·1 标量场和向量场 191
6·2 向量微分学 194
6·3 曲线 197
6·4 弧长 200
6·5 切线 202
6·6 速度和加速度 204
6·7 多元函数的链锁法则·中值定理 207
6·8 方向导数·标量场的梯度 210
6·9 坐标变换和向量分量的变换 216
6·10 向量场的散度 219
6·11 向量场的旋度 223
7·1 线积分 227
第七章 线积分与面积分·积分理论 227
7·2 线积分的计算 229
7·3 二重积分 233
7·4 化二重积分为线积分 239
7·5 曲面 243
7·6 切平面·第一基本形式·面积 246
7·7 面积分 250
7·8 三重积分·高斯散度定理 256
7·9 散度定理的应用 260
7·10 斯托克斯定理 266
7·11 与路径无关的线积分 273
第八章 傅立叶级数和傅立叶积分 281
8·1 周期函数·三角级数 281
8·2 傅立叶级数·欧拉公式 283
8·3 具有任意周期的函数 289
8·4 偶函数和奇函数 291
8·5 半幅延拓 296
8·6 强迫振动 299
8·7 傅立叶积分 302
第九章 偏微分方程 309
9·1 基本概念 309
9·2 模型建立·弦振动·一维波动方程 312
9·3 分离变量法 314
9·4 波动方程的达朗贝尔解 323
9·5 一维热传导方程 326
9·6 建立模型·膜振动·二维波动方程 333
9·7 矩形膜 336
9·8 圆形膜·贝塞尔方程 344
9·9 拉普拉斯方程·位势 350
9·10 球坐标下的拉普拉斯方程·勒让德方程 353
9·11 拉普拉斯变换对偏微分方程的应用 358
第十章 复数·复解析函数 365
10·1 复数 366
10·2 复数的三角形式·三角不等式 370
10·3 复平面中的曲线和区域 373
10·4 复函数·极限·导数·解析函数 376
10·5 柯西—黎曼方程·拉普拉斯方程 381
10·6 有理函数·根 388
10·7 指数函数 391
10·8 三角函数和双曲函数 393
10·9 对数·广义幂 396
第十一章 保形映射 401
11·1 映射 401
11·2 保形映射 409
11·3 线性分式变换 416
11·4 特殊的线性分式变换 419
11·5 其他初等函数所确定的映射 424
第十二章 复积分 436
12·1 复平面中的线积分 436
12·2 复线积分的基本性质 443
12·3 柯西积分定理 445
12·4 用不定积分计算线积分 451
12·5 柯西积分公式 455
12·6 解析函数的导数 458
第十三章 序列和级数 463
13·1 序列 463
13·2 级数 467
13·3 序列和级数的柯西收敛准则 470
13·4 判别级数收敛和发散法则 473
13·5 级数运算 478
14·1 幂级数 484
第十四章 幂级数·泰勒级数·罗朗级数 484
14·2 函数的幂级数表达式 491
14·3 泰勒级数 496
14·4 基本函数的泰勒级数 502
14·5 求幂级数的实际方法 504
14·6 一致收敛 508
14·7 罗朗级数 515
14·8 零点和奇点 522
15·1 留数 527
第十五章 留数和积分计算 527
15·2 留数定理 531
15·3 定积分的计算 534
第十六章 复解析函数和位势理论 541
16·1 静电场 541
16·2 二维空间中的液体流动 546
16·3 调和函数的基本性质 553
16·4 泊松积分公式 558
习题参考答案 564