第一编 微积分的基础概念 1
第一章 点集及有关概念 1
1．1 实数与数轴(R) 1
一、数的概念的产生与发展简述 1
二、实数的定义 1
三、实数的性质 2
1．2 二维实空间(R~2)与三维实空间(R~3) 3
一、概念 3
二、实空间(R、R~2、R~3)中的几何结构 3
三、实空间的代数结构 3
1．3 复空间(C) 4
一、概念 4
二、C与R~2的异同 4
1．4 n维实空间(欧几里德空间)(R~n) 4
一、概念 4
二、R~n中的线性运算 4
三、R~n中两点间的距离 4
四、R~n中的内积、模 5
1．5 R~n中的点集及有关概念 5
一、点P_0的邻域 5
二、点集的内点、外点、界点 5
三、点集的聚点、孤立点 6
四、开集与闭集 6
五、集合的连通性 7
六、区域与闭区域 7
七、有界集 7
八、点集的直径 7
教学要求 7
练习题 7
第二章 函数 9
2．1 一元实函数 9
一、基本初等函数 9
二、形形色色的函数 9
三、初等函数 10
四、函数关系的表示方法 10
五、描述函数关系的特征的几个概念 10
2．2 函数概念的推广 12
一、集合之间的映射 12
二、函数的一般概念 12
三、常见函数及其几何、物理背景 12
2．3 二元函数与空间曲面 16
一、二元函数与空间曲面的关系 16
二、几种常见曲面的方程 16
三、直观地表示二元函数变化态势的几何方法 19
2．4 空间曲线及其方程 22
一、空间曲线的方程 22
二、空间直线的方程 23
2．5 复变函数 23
一、概念 23
二、复基本初等函数 24
教学要求 27
练习题 28
第三章 函数的极限 33
3．1 一元函数的极限 33
一、极限的概念 33
二、无穷小量及其性质 37
三、极限的运算法则 37
四、极限计算的基本方法 37
3．2 一元函数极限的进一步讨论 40
一、极限概念的量化 40
二、极限的性质 43
三、极限运算法则的证明 45
四、复合函数的极限的证明 45
五、极限存在准则 45
六、极限与子极限的关系 48
七、含参量的极限 50
3．3 无穷小量的阶 51
3．4 极限概念的推广 52
一、多元函数的极限 52
二、多元函数自变量趋于无穷大时的极限 53
三、一元向量函数的极限 53
四、n元m维向量函数的极限 53
3．5 极限的性质与运算法则 54
一、性质 54
二、运算法则 54
3．6 复变函数的极限 55
教学要求 56
练习题 56
第四章 函数的连续性 59
4．1 一元函数的连续性 59
一、函数连续性的概念 59
二、连续函数的运算法则 60
三、初等函数的连续性 61
四、闭区间上连续函数的性质 61
五、函数连续性的应用 62
4．2 函数连续性概念的推广 64
一、n元m维向量函数Y=F(X)在X_0点连续的定义 64
二、连续函数的四则运算及复合 65
三、有界闭区域上连续函数的性质 66
四、压缩映射及其不动点 66
教学要求 66
练习题 66
第二编 微分学 68
第五章 一元函数微分学 68
5．1 一元函数导数概念 68
一、导数概念的原型 68
二、一元函数导数的定义 68
三、导函数概念 69
四、可导与连续的关系 70
5．2 导数计算 70
一、求导法则 70
二、求导基本公式 73
三、求导方法 73
5．3 高阶导数 78
一、概念 78
二、高阶导数的计算 79
5．4 一元函数的微分 81
一、微分的概念 81
二、微分的计算 82
三、高阶微分 84
四、微分的应用 84
5．5 微分中值定理及其应用 85
一、函数的增减性与导数的关系及微分中值定理 85
二、微分中值定理的证明 86
三、罗必塔法则 88
四、泰勒定理 91
五、曲线的凸性 94
六、函数y＝f(x)作图问题小结 96
七、函数的极值与最值 98
八、利用导数证明不等式 101
5．6 一元向量函数的导数与微分 102
一、一元向量函数的导数 102
二、导向量的运算法则 103
三、一元向量函数的微分 103
教学要求 104
练习题 104
第六章 多元函数微分学 110
6．1 二元函数的导数与微分 110
一、二元函数的偏导数 110
二、二元函数的高阶偏导数 111
三、二元函数的方向导数 112
四、二元函数的全微分 112
五、二元函数连续、可导、可微的关系 113
六、二元函数的梯度 115
6．2 n元函数的导数与微分 116
一、概念与计算 116
二、多元复合函数求导的链式法则 118
三、隐函数微分法 121
四、多元函数微分在几何上的应用 125
6．3 多元函数的泰勒公式 129
6．4 多元函数的极值 131
一、多元函数的极值 131
二、多元函数的条件极值 132
6．5 多元向量函数的导数与微分 134
一、多元向量函数的偏导数(偏导向量) 134
二、多元向量函数的方向导数 135
三、多元向量函数的微分 136
四、复合函数的微分 138
6．6 复变函数的导数与微分 139
一、复变函数导数的定义 139
二、复变函数导数的运算法则 139
三、复变函数微分的定义及计算 140
四、复变函数可导的充要条件 141
五、复变函数导数的几何意义 142
六、复变函数与二元二维向量函数的关系 144
教学要求 146
练习题 146
第七章 微分学综合练习 150
7．1 数据拟合与曲线拟合 150
一、数据拟合 150
二、曲线拟合 150
练习 150
7．2 曲线族性态的讨论 151
练习 152
7．3 平面到平面的映射 152
练习 154
7．4 映射的不动点及迭代法 155
练习 156
7．5 微分学在方程求根问题中的应用 156
练习 157
7．6 二元函数的等值线图及其应用 158
练习 159
附录Ⅰ 行列式·线性方程组的解 160
一、二元一次方程组的解 160
二、二阶行列式 160
三、三阶行列式 161
四、三元一次方程组的解 163
五、n阶行列式 164
附录Ⅱ 复数及其运算 168
一、复数的概念 168
二、复数的四则运算 168
三、复数的模与辐角 169
四、复数的乘幂与方根 170
五、复数的指数形式 171
附录Ⅲ 向量及其代数运算 172
一、向量的概念 172
二、向量的线性运算 172
三、向量的坐标 175
四、空间直角坐标系 175
五、向量的内积 176
六、向量的外积 178
七、混合积 179
附录Ⅳ 矩阵及其线性运算 181
一、定义 181
二、矩阵的线性运算 181
三、方阵的逆方阵 183
附录Ⅴ MATHEMATICA软件简介 185
一、MATHEMATICA软件(简称MATH软件)的安装与打开 185
二、MATH软件的基本功能及相应的命令 185