第1章 非线性动力系统的定性描述 1
1.1 动力系统的数学定义 1
1.1.1 微分方程 1
1.1.2 映射 3
1.1.3 解的存在性和唯一性 7
1.1.4 映射的连续性和可微性 9
1.1.5 逆映射定理和隐函数定理 10
1.2 运动稳定性 12
1.2.1 运动稳定性定义 12
1.2.2 微分方程解的运动稳定性 14
1.2.3 映射的运动稳定性 19
1.2.4 里雅普诺夫间接法 23
1.2.5 里雅普诺夫直接法 27
1.3 相空间、相平面和奇点的种类及其判别指标 34
1.3.1 相空间和相平面 35
1.3.2 奇点的分类 35
1.4 结构稳定性及分岔 42
1.4.1 微分流形 42
1.4.2 流与微分同胚 46
1.4.3 向量场与微分同胚的相图 48
1.4.4 结构稳定性与分岔 51
1.5 双曲平衡点的局部结构稳定性 56
1.5.1 不变子空间 56
1.5.2 Hartman-Grobman定理 59
1.5.3 稳定流形定理 62
1.5.4 同宿轨道和异宿轨道的性质 65
1.6 非双曲平衡点的局部结构稳定性 71
1.6.1 中心流形 72
1.6.2 依赖于参数的中心流形 75
1.7 极限环 78
1.7.1 基本定义 79
1.7.2 极限环存在定理 81
第2章 分岔及突变 88
2.1 向量场的分岔 88
2.1.1 平衡点的稳定性及分岔 88
2.1.2 闭轨的稳定性及分岔 94
2.2 映射的分岔 96
2.2.1 不动点的稳定性及分岔 96
2.3 周期解的稳定性和分岔 104
2.3.1 连续流的离散及Poincaré映射 104
2.3.2 判断周期解稳定性的Floquet理论 107
2.3.3 倍周期运动及Flip分岔 109
2.3.4 准周期运动及Naimark-Sacker分岔 111
2.3.5 突跳及鞍－结分岔 113
2.3.6 锁频 114
2.4 同宿、异宿轨道分岔 117
2.4.1 同宿轨道破裂 118
2.4.2 异宿轨道破裂 119
2.5 缺陷分岔 120
2.5.1 有缺陷的分岔 120
2.5.2 应用举例 121
2.6 突变 123
2.6.1 突变的基本理论 123
2.6.2 初等突变的基本类型 125
2.6.2.1 折叠突变 125
2.6.2.2 尖点突变 127
2.6.3 应用举例 130
第3章 混沌系统 132
3.1 吸引子 132
3.1.1 平凡吸引子 134
3.1.2 奇怪吸引子 135
3.2 通向混沌的途径 143
3.2.1 系列倍周期分岔通向混沌 144
3.2.2 通向混沌吸引子的间歇性路径 147
3.2.3 危机 150
3.2.3.1 边界危机 150
3.2.3.2 危机诱发的间歇现象 152
3.2.4 Lorenz系统：混沌瞬态 153
3.3 混沌系统 156
3.3.1 混沌的概念及特征 157
3.3.2 混沌的结构和行为的描述 159
3.4 里雅普诺夫指数 160
3.4.1 里雅普诺夫指数的定义 160
3.4.2 连续动力系统 161
3.4.3 离散动力系统 166
3.5 分形与分维 169
3.5.1 分形的概念及特征 169
3.5.2 分数维 172
3.5.2.1 分数维的定义及含义 172
3.5.2.2 三维自治动力系统混沌吸引子的分数维 175
第4章 惯性流形及其数值方法 178
4.1 无穷维非线性耗散动力系统的降维 178
4.2 惯性流形 180
4.3 近似惯性流形及时滞惯性流形 180
4.4 时滞惯性流形在浅拱动力屈曲分析中的应用 182
4.4.1 基本方程 182
4.4.2 时滞惯性流形的构造 184
4.4.3 数值分析 185
4.5 多级有限元构造N-S方程的近似惯性流形 189
4.5.1 非线性Galerkin方法 190
4.5.2 数值计算结果 191
第5章 非线性动力学的应用 193
5.1 转子－有限长气体轴承系统中的非线性动力学 193
5.1.1 转子－有限长气体轴承动力系统 193
5.1.2 系统的非线性动力学特性分析 194
5.1.2.1 无偏心质量的转子动力系统 194
5.1.2.2 有偏心质量的转子动力系统 196
5.2 浅拱结构动力屈曲中多平衡位置的稳定性及分岔 198
5.2.1 力学模型 199
5.2.2 平衡位置及其稳定性分析 200
5.2.3 动力屈曲分析 200
5.2.3.1 哈密顿系统的平衡位置分布及其稳定性 201
5.2.3.2 耗散系统的平衡位置分布及其稳定性 201
5.2.3.3 系统的分岔行为 203
5.3 机翼绕流边界层分离的分岔特性 203
5.3.1 数学模型 204
5.3.2 边界层的分离 205
5.3.3 高阶奇点 206
5.3.4 分离泡 207
5.4 低速气流中二元叶片的颤振 208
5.4.1 力学模型 209
5.4.2 叶片颤振数值模拟 211
5.5 非线性小世界网络动力学 213
5.5.1 背景 213
5.5.2 小世界网络模型 214
5.5.3 向量场形式下小世界网络非线性动力学特性 216
5.5.3.1 网络平衡状态 216
5.5.3.2 网络平衡状态的Hopf分岔 216
5.5.3.3 网络周期振荡失稳导致的混沌状态 217
5.5.4 映射的不动点及其稳定性、分岔、混沌 217
5.5.4.1 不动点及其稳定性 218
5.5.4.2 倍周期分岔 218
5.5.5 映射形式下系统的不动点及其分岔的数值分析 218
参考文献 222