第1章 凸分析的基本概念 1
1.1 凸集与凸函数 1
1.1.1 凸函数 3
1.1.2 函数的闭性与半连续性 8
1.1.3 凸函数的运算 10
1.1.4 可微凸函数的性质 12
1.2 凸包与仿射包 17
1.3 相对内点集和闭包 21
1.3.1 相对内点集和闭包的演算 25
1.3.2 凸函数的连续性 33
1.3.3 函数的闭包 35
1.4 回收锥 40
1.4.1 凸函数的回收方向 48
1.4.2 闭集交的非空性 54
1.4.3 线性变换下的闭性 61
1.5 超平面 63
1.5.1 分离超平面 64
1.5.2 超平面真分离 69
1.5.3 用非竖直超平面做分离 75
1.6 共轭函数 78
1.7 小结 85
第2章 多面体凸性的基本概念 87
2.1 顶点 87
2.2 极锥 94
2.3 多面体集和多面体函数 96
2.3.1 多面体锥和Farkas引理 96
2.3.2 多面体集的结构 98
2.3.3 多面体函数 103
2.4 优化的多面体方面 105
第3章 凸优化的基本概念 109
3.1 约束优化 109
3.2 最优解的存在性 111
3.3 凸函数的部分最小化 115
3.4 鞍点和最小最大理论 119
第4章 对偶原理的几何框架 123
4.1 最小公共点／最大相交点问题的对偶性 123
4.2 几种特殊情况 128
4.2.1 对偶性与共轭凸函数的联系 128
4.2.2 一般优化问题中的对偶性 129
4.2.3 不等式约束下的优化问题 130
4.2.4 不等式约束问题的增广拉格朗日对偶性 132
4.2.5 最小最大问题 133
4.3 强对偶定理 138
4.4 对偶最优解的存在性 142
4.5 对偶性与凸多面体 145
4.6 小结 150
第5章 对偶性与优化 151
5.1 非线性Farkas引理 151
5.2 线性规划的对偶性 155
5.3 凸规划的对偶性 158
5.3.1 强对偶定理——不等式约束 159
5.3.2 最优性条件 160
5.3.3 部分多面体约束 162
5.3.4 对偶性与原问题最优解的存在性 167
5.3.5 Fenchel对偶性 169
5.3.6 锥对偶性 172
5.4 次梯度与最优性条件 173
5.4.1 共轭函数的次梯度 177
5.4.2 次微分运算 182
5.4.3 最优性条件 185
5.4.4 方向导数 186
5.5 最小最大理论 190
5.5.1 最小最大对偶定理 191
5.5.2 鞍点定理 194
5.6 择一定理 200
5.7 非凸问题 207
5.7.1 可分问题中的对偶间隙 207
5.7.2 最小最大问题中的对偶间隙 216
附录A 数学背景 217
A.1 线性代数 219
A.2 拓扑性质 222
A.3 导数 227
附录B 注释和文献来源 229