绪论 1
第一章 函数、极限与连续 7
1.1函数的概念 7
1.1.1区间与邻域 7
1.1.2函数概念 8
1.1.3初等函数 10
习题1—1 16
1.2极限 17
1.2.1函数的极限 17
1.2.2函数极限的主要性质 21
1.2.3无穷小量和无穷大量 21
习题1—2 23
1.3极限的性质 23
1.3.1无穷小量的性质 23
1.3.2极限运算法则 24
1.3.3夹逼定理和两个重要极限 28
1.3.4无穷小的比较及应用 31
习题1—3 34
1.4函数的连续性 35
1.4.1函数的连续性 36
1.4.2函数的间断点 37
1.4.3连续函数的性质及初等函数的连续性 39
1.4.4闭区间上连续函数的性质 41
习题1—4 42
第二章 导数与微分 44
2.1导数的概念 44
2.1.1导数的定义 44
2.1.2导数的几何意义 47
2.1.3函数的可导性与连续性的关系 48
习题2—1 50
2.2函数的求导法则 51
2.2.1导数的四则运算法则 51
2.2.2反函数的求导法则 52
2.2.3复合函数的求导法则 54
2.2.4初等函数的求导法则与导数公式 55
习题2—2 56
2.3隐函数与参数方程的求导法、高阶导数 57
2.3.1隐函数的导数 57
2.3.2由参数方程确定的函数的导数 59
2.3.3高阶导数 60
习题2—3 62
2.4变化率问题举例 63
习题2—4 68
2.5函数的微分 68
2.5.1微分的定义 69
2.5.2微分的几何意义 71
2.5.3微分的运算法则及微分公式表 71
2.5.4微分在近似计算中的应用 73
习题2—5 73
第三章 中值定理与导数的应用 75
3.1中值定理 75
习题3—1 78
3.2洛必达法则 79
习题3—2 82
3.3函数的单调性与曲线的凹凸性 83
3.3.1函数的单调性 83
3.3.2曲线的凹凸性与拐点 84
习题3—3 87
3.4函数极值与最大、最小值 87
3.4.1函数极值的定义 87
3.4.2函数极值的判别与求法 88
3.4.3最大、最小值问题 90
习题3—4 92
3.5函数图形的描绘 93
习题3—5 94
第四章 一元函数积分学及其应用 95
4.1定积分的概念与性质 95
4.1.1定积分概念的引入 95
4.1.2定积分的定义 97
4.1.3定积分的几何意义 98
4.1.4定积分的性质 100
习题4—1 101
4.2微积分基本定理与微积分基本公式 102
4.2.1微积分基本定理 102
4.2.2微积分基本公式 104
4.2.3不定积分 105
习题4—2 108
4.3两种基本积分法 109
4.3.1换元积分法 109
4.3.2分部积分法 117
4.3.3初等函数的积分问题 121
习题4—3 121
4.4定积分的应用 122
4.4.1定积分的微元法 123
4.4.2定积分在几何中的应用 124
4.4.3定积分在物理中的应用 127
习题4—4 129
4.5广义积分 130
4.5.1无限区间的广义积分 130
4.5.2无界函数的广义积分 131
习题4—5 133
第五章 空间解析几何及多元函数微分学 134
5.1空间直角坐标系及向量 134
5.1.1空间直角坐标系 134
5.1.2向量的概念及其运算 135
习题5—1 137
5.2空间平面与空间直线的方程 137
5.2.1空间平面的方程 138
5.2.2空间直线的方程 139
习题5—2 140
5.3空间曲面与曲线的方程 141
5.3.1曲面及其方程 141
5.3.2二次曲面 143
5.3.3空间曲线的方程 144
习题5—3 145
5.4多元函数的基本概念 145
5.4.1区域 145
5.4.2多元函数的概念 146
5.4.3多元函数的极限 147
5.4.4多元函数的连续性 148
习题5—4 148
5.5偏导数 149
5.5.1偏导数的定义及其计算法 149
5.5.2偏导数的几何意义 150
5.5.3高阶偏导数 151
习题5—5 152
5.6全微分及其计算 152
5.6.1全微分的定义 152
5.6.2函数可微的条件 153
5.6.3全微分的计算 154
习题5—6 155
5.7多元函数求导法则 155
5.7.1多元复合函数的求导法则 155
5.7.2隐函数的求导公式 156
习题5—7 157
5.8微分法在几何上的应用 158
5.8.1空间曲线的切线与法平面 158
5.8.2曲面的切平面与法线 159
习题5—8 160
5.9方向导数与梯度 160
5.9.1方向导数 160
5.9.2梯度 162
习题5—9 163
5.10多元函数的极值 163
5.10.1多元函数的极值 163
5.10.2条件极值 165
习题5—10 167
第六章 重积分 168
6.1二重积分的概念与性质 168
6.1.1二重积分问题举例 168
6.1.2二重积分的定义 170
6.1.3二重积分的性质 171
习题6—1 173
6.2二重积分的计算方法 173
6.2.1在直角坐标系下二重积分的计算 173
6.2.2在极坐标系下二重积分的计算 180
习题6—2 182
6.3二重积分的应用 183
6.3.1平面薄片的质心和转动惯量 183
6.3.2曲面的面积 185
习题6—3 187
6.4对孤长的曲线积分 187
6.4.1对弧长的曲线积分的定义 187
6.4.2对弧长的曲线积分的性质 189
6.4.3对弧长的曲线积分的计算方法 189
6.4.4应用举例 191
习题6—4 192
6.5对坐标的曲线积分 192
6.5.1对坐标的曲线积分的定义 192
6.5.2对坐标的曲线积分的性质 194
6.5.3对坐标的曲线积分的计算方法 194
习题6—5 197
6.6格林公式及其应用 197
6.6.1单、复连通区域 198
6.6.2格林公式 198
习题6—6 201
第七章 常微分方程 202
7.1微分方程的基本概念 202
习题7—1 205
7.2一阶微分方程 205
7.2.1可分离变量的微分方程 206
7.2.2一阶线性微分方程 207
7.2.3一阶微分方程应用举例 210
习题7—2 212
7.3二阶常系数线性微分方程 213
7.3.1二阶线性微分方程解的结构 213
7.3.2二阶常系数线性齐次微分方程 214
7.3.3二阶常系数线性非齐次微分方程 216
7.3.4综合应用举例 219
习题7—3 221
第八章 无穷级数 222
8.1常数项级数的概念和性质 222
8.1.1常数项级数的概念 222
8.1.2常数项级数的基本性质 224
习题8—1 225
8.2常数项级数的审敛法 226
8.2.1正项级数及其审敛法 226
8.2.2交错级数及其审敛法 229
8.2.3绝对收敛与条件收敛 230
习题8—2 231
8.3幂级数 232
8.3.1函数项级数的概念 232
8.3.2幂级数及其收敛域 233
8.3.3幂级数的运算与性质 237
习题8—3 239
8.4函数展开成幂级数 239
8.4.1泰勒公式与泰勒级数 239
8.4.2函数展开成幂级数 240
习题8—4 244
8.5傅里叶级数 244
8.5.1三角函数系的正交性 244
8.5.2傅里叶级数 245
8.5.3傅里叶级数的收敛性 246
8.5.4定义在[—π，π]或[0，π上的函数展开成傅里叶级数 248
8.5.5周期为2l的周期函数的傅里叶级数 250
习题8—5 252
附录一 初等数学常用公式 253
附录二 极坐标简介 257
附录三 常用平面曲线 259
附录四 常用积分表 262
参考答案 271