第1章 数值计算的基本原理 1
1.1 问题的适定性和条件数 1
1.2 数值方法的稳定性 4
1.3 误差的先验和后验估计 8
1.4 数值模型的误差 9
第2章 矩阵分析基础 11
2.1 矩阵的若干基本概念 11
2.2 矩阵计算的若干标准方法 15
2.2.1 矩阵的LU分解和Gauss消元法 15
2.2.2 对称正定矩阵的Cholesky分解 20
2.2.3 矩阵的QR分解和最小二乘法 21
2.3 Krylov子空间方法 29
2.3.1 从最速下降法谈起 29
2.3.2 共轭递度法 30
2.3.3 广义最小误差法 35
2.4 矩阵特征值问题 40
2.5 矩阵奇异值分解和广义逆 51
2.5.1 奇异值分解的基本方法 51
2.5.2 矩阵广义逆和奇异值截断 55
2.5.3 有限迭代方法 58
第3章 有限元方法的基本原理和应用 62
3.1 从函数展开到变分原理 63
3.2 Galerkin方法及推广 66
3.3 带Dirichlet边界条件的一维问题 67
3.4 带Dirichlet边界条件的二维问题 74
3.4.1 节点和局部基函数 74
3.4.2 有限元方程的导出 78
3.4.3 刚度矩阵的产生和装配 80
3.4.4 简单的例子 89
3.4.5 一般的散度型方程 93
3.5 带有混合边值条件的二维问题 97
3.5.1 新的能量泛函 98
3.5.2 有限元方程 99
3.5.3 Robin边界条件的一个应用 102
3.6 矩形有限元 103
3.7 有限元方法的数学背景 106
3.8 矩型域上散度型方程混合边界条件的有限元实现 110
3.9 二维矩形区域上Robin边界条件的有限元程序 120
3.10 用MATLAB库函数求解椭圆型方程的边值问题 130
第4章 边界积分方程及其应用 137
4.1 微分方程的基本解 137
4.2 势函数的引进和性质 143
4.3 Laplace方程边值问题的求解 146
4.4 Helmholtz方程边值问题的求解 149
4.5 抛物型方程初边值问题的求解 160
第5章 积分计算的近代方法 168
5.1 奇异积分的计算 168
5.1.1 奇异积分的有关概念 168
5.1.2 乘积型弱奇性积分的计算 171
5.1.3 非等距节点剖分计算奇性积分 176
5.2 振荡型函数积分的计算 181
5.3 高维积分的计算 189
5.3.1 矩形区域上的多项式插值 189
5.3.2 三角形区域上的多项式插值 191
5.3.3 三角形区域上的积分计算 196
5.3.4 曲面上的积分 201
5.4 积分计算的统计方法 209
5.4.1 Monte Carlo方法基础 210
5.4.2 随机变量的产生 212
5.4.3 Monte Carlo方法计算定积分 218
第6章 快速Fourier变换和小波变换 221
6.1 离散Fourier变换 221
6.2 快速Fourier变换FFT 223
6.3 FFT的应用 232
6.4 小波的基本概念 234
6.4.1 小波和小波展开系统 234
6.4.2 离散小波变换 238
6.5 小波系统多分辨率 239
6.5.1 缩放函数和小波函数 239
6.5.2 离散小波变换及直观表示 243
6.5.3 小波展开和Haar小波系统的例子 245
参考文献 250