0.1 数值计算方法与算法 1
第0章 绪论 1
0.2 误差与有效数字 2
0.3 约束误差 3
0.4 范数 4
0.4.1 向量范数 4
0.4.2 矩阵范数 6
第1章 插值 10
1.1 插值 10
1.2 多项式插值的Lagrange形式 11
1.2.1 线性插值 11
1.2.2 二次插值 13
1.2.3 n次Lagrange插值多项式 15
1.3.1 差商及其计算 20
1.3 多项式插值的Newton形式 20
1.3.2 Newton插值 22
1.4 Hermite插值 26
1.5 分段插值 31
1.5.1 Runge现象 31
1.5.2 分段线性插值 32
1.6 三次样条函数 33
1.6.1 三次样条插值的M关系式 34
1.6.2 三次样条插值的m关系式 36
1.7 程序示例 37
习题1 40
第2章 数值微分和数值积分 42
2.1 数值微分 42
2.1.1 差商与数值微分 42
2.1.2 插值型数值微分 45
2.2 数值积分 46
2.2.1 插值型数值积分 47
2.2.2 Newton-Cotes积分 48
2.3 复化数值积分 53
2.3.1 复化梯形积分 53
2.3.2 复化Simpson积分 54
2.3.3 复化积分的自动控制误差算法 56
2.3.4 Romberg积分 59
2.4 重积分计算 61
2.5 Gauss型积分 63
2.5.1 Legendre多项式 64
2.5.2 Gauss-Legendre积分 65
2.6 程序示例 67
习题2 68
3.1 拟合曲线 70
第3章 曲线拟合的最小二乘法 70
3.2 线性拟合和二次拟合函数 72
3.3 解矛盾方程组 77
3.4 程序示例 82
习题3 84
第4章 非线性方程求根 86
4.1 实根的对分法 86
4.2 迭代法 88
4.3 Newton迭代法 90
4.4 弦截法 93
4.5 非线性方程组的Newton方法 95
4.6 程序示例 97
习题4 99
第5章 解线性方程组的直接法 100
5.1.1 三角形方程组的解 101
5.1 消元法 101
5.1.2 Gauss消元法与列主元消元法 103
5.1.3 Gauss-Jordan消元法 109
5.2 直接分解法 110
5.2.1 Dolittle分解 112
5.2.2 Courant分解 117
5.2.3 追赶法 119
5.2.4 对称正定矩阵的LDLT分解 121
5.3 矩阵的条件数 124
5.4 程序示例 125
习题5 128
第6章 解线性方程组的迭代法 130
6.1 Jacobi迭代 131
6.1.1 Jacobi迭代格式 131
6.1.2 Jacobi迭代收敛条件 134
6.2 Gauss-Seidel迭代 135
6.2.1 Gauss-Seidel迭代公式 135
6.2.2 Gauss-Seidel迭代矩阵 137
6.2.3 Gauss-Seidel迭代算法 137
6.3 松弛迭代 138
6.4 逆矩阵计算 140
6.5 程序示例 142
习题6 145
第7章 计算矩阵的特征值和特征向量 147
7.1 幂法 147
7.1.1 幂法计算 147
7.1.2 幂法的规范运算 150
7.2 反幂法 153
7.3 实对称矩阵的Jacobi方法 154
7.4.1 正交矩阵与矩阵的QR分解 161
7.4 QR方法简介 161
7.4.2 QR方法初步 162
7.5 程序示例 162
习题7 166
第8章 常微分方程数值解 168
8.1 Euler公式 168
8.1.1 基于数值微商的Euler公式 168
8.1.2 Euler公式的收敛性 172
8.1.3 基于数值积分的近似公式 173
8.2 Runge-Kutta方法 175
8.2.1 二阶Runge-Kutta方法 175
8.2.2 四阶Runge-Kutta格式 177
8.2.3 步长的自适应 179
8.3 线性多步法 180
8.4.1 一阶常微分方程组的数值解法 184
8.4 常微分方程组的数值解法 184
8.4.2 高阶常微分方程数值方法 186
8.5 常微分方程的稳定性 187
8.6 程序示例 189
习题8 191
第9章 在Mathematiica中做题 193
9.1 符号计算系统Mathematica基本操作 193
9.2 插值 196
9.3 数值积分 197
9.4 曲线拟合 198
9.5 非线性方程 200
9.6 方程组求解 201
9.7 计算特征值和特征向量 202
9.8 常微分方程数值解 202
上机作业题 206
参考文献 210