一元分析 1
1 函数、数列、极限、函数连续性 1
1.1 实数 1
1.1.1 实数的定义 1
1.1.2 实数的性质及四则运算 2
1.1.3 关于实数的一些基本定理 7
目录 9
符号表 9
1.2 函数与数列 9
1.2.1 变量变化区间 9
1.2.2 函数概念及分类 10
1.2.3 初等函数及其图象 12
1.2.4 序列 25
1.3 极限 26
1.3.1 数列极限 26
1.3.2 聚点 28
1.3.3 判断数列极限存在的若干定理 29
1.3.4 收敛数列的性质及运算 32
1.3.5 函数极限的定义 32
1.3.6 判断函数极限存在的若干定理 33
1.3.7 函数极限的性质及运算 35
1.3.8 无穷小量与无穷大量 37
1.4 函数连续性 41
1.4.1 连续性的基本概念 41
1.4.2 连续函数的性质 44
1.4.3 一致连续（均匀连续） 45
2.1 导数与微分 46
2.1.1 基本概念 46
2 一元函数微分学 46
2.1.2 连续、可导、可微间的相互关系 48
2.1.3 微分法则及基本公式 49
2.1.4 高阶导数与高阶微分 52
2.2.1 Fermat定理 55
2.2.2 微分中值定理 55
2.2 微分学基本定理 55
2.2.3 Taylor公式 57
2.3 导数与微分的应用 59
3.1 不定积分 68
3.1.1 不定积分概念 68
3 一元函数积分学 68
3.1.2 积分法 69
3.2 定积分 80
3.2.1 概念与性质 80
3.2.2 定积分计算 84
3.3 定积分应用 89
3.3.1 平面域的面积 89
3.3.2 空间体的体积 90
3.3.3 质心与形心 95
3.4 积分表 98
4.1 数项级数 114
4.1.1 基本概念 114
4 级数 114
4.1.2 级数收敛性的基本定理 115
4.1.3 正项级数的判敛 117
4.1.4 任意项级数 125
4.1.5 绝对收敛级数与条件收敛级数的某些特性、级数加快收敛法 128
4.1.6 二重级数 133
4.1.7 无穷乘积 136
4.2 函数项级数 141
4.2.1 基本概念 141
4.2.2 一致收敛的判别法 144
4.2.3 一致收敛函数项级数的性质 146
4.3 幂级数 149
4.3.1 基本概念 149
4.3.2 幂级数性质 151
4.3.3 幂级数的运算 153
4.3.4 Taylor级数 155
4.4 Fourier级数 162
4.4.1 基本概念 162
4.4.2 Fourier系数的性质 168
4.4.3 Fourier级数的收敛性 170
4.4.4 Fourier级数的一致收敛性 172
4.4.5 Fourier级数的逐项积分与逐项微分 173
4.4.6 Fourier级数的求和 174
4.4.7 Fourier级数的应用 178
5.1 无穷限广义积分 181
5.1.1 基本概念 181
5 广义积分 181
5.1.2 收敛性判别法 182
5.2 无界函数的广义积分 184
5.2.1 基本概念 184
5.2.2 收敛性判别法 185
6.1 n维向量空间中的代数 194
6 向量代数 194
6.1.1 n维向量空间和基 194
多元分析 194
6.1.2 向量的内积与度量矩阵 196
6.1.3 逆变基 198
6.1.4 坐标变换与基的转换 200
6.2 三维向量空间中的代数 200
7.1 n维欧氏空间？n 206
7.1.1 概念 206
7 多元函数及其极限、连续性 206
7.1.2 n维欧氏空间中的点集 207
7.1.3 n维欧氏空间的性质 210
7.2 多元函数 211
7.2.1 映射 211
7.2.2 多元函数的概念 212
7.3 多元函数的极限及连续性 214
7.3.1 多元函数的极限 214
7.3.2 二元函数的累次极限 215
7.3.3 多元函数的连续性 216
7.4 多元向量函数及其极限、连续性 217
7.4.1 概念 217
7.4.2 向量函数的极限及连续性 219
7.5 附录 ？3中的几何图形及公式 221
8 多元函数的微分学 232
8.1 偏导数 232
8.2 全微分 234
8.3 复合函数的偏导数与全微分 236
8.4 方向导数与梯度 239
8.4.1 方向导数 239
8.4.2 梯度 240
8.5 高阶偏导数与高阶全微分 242
8.5.1 高阶偏导数 242
8.5.2 高阶全微分 244
8.6 Taylor公式 245
8.7 隐函数及其微分法 246
8.8 空间曲线及其切线 248
8.9 光滑曲面与切平面 250
8.10 极值 253
8.10.1 极值 253
8.10.2 条件极值 255
9 向量函数的微分学 257
9.1 一元向量函数的微分学 257
9.2.1 基本概念 261
9.2 多元向量函数的可微性与导数 261
9.2.2 求导法则 266
9.2.4 Taylor公式 268
9.2.3 方向导数 268
9.3 量函数的反函数 269
9.4 由方程组确定的隐函数组 272
10.1 含参量积分 274
10 含参量积分 274
10.2.1 一致收敛性 276
10.2 含参量广义积分 276
10.2.2 含参量广义积分的性质 278
11.1 ？n中的Jordan可测集 280
11 重积分 280
11.2 ？n上的Riemann积分 281
11.3 重积分的计算 285
11.4.1 正则变换 289
11.4 重积分的变量代换 289
11.4.2 特殊情形 292
12.1 可求长曲线 297
12 曲线积分与曲面积分 297
12.2 第一型曲线积分 298
12.3 第二型曲线积分 300
12.5 Green公式 303
12.4 第一型与第二型曲线积分的联系 303
12.6 曲面面积 304
12.7 第一型曲面积分 306
12.8 第二型曲面积分 307
13.1 引论 312
13 标量场及向量场 312
13.2 标量场的梯度与保守场 313
13.3 向量场的散度及Gauss定理 316
13.4 向量场的旋度及Stokes定理 318
13.5.1 Hamilton算子及Laplace算子 321
13.5 线性微分算子 321
13.5.2 微分算子公式 322
13.6.1 曲线坐标系 325
13.6 曲线坐标中的向量分析 325
13.6.2 曲线坐标系中的基向量及度量张量 327
13.6.3 基向量的导数及Christoffel符号 329
13.7.1 任意曲线坐标系中的微分算子 331
13.7 曲线坐标系中的微分算子 331
13.7.3 柱坐标中的微分算子 332
13.7.2 正交曲线坐标系中的微分算子 332
13.7.4 球坐标中的微分算子 334
13.8.1 无旋场（层状场） 335
13.8 由旋度及散度确定的向量场 335
13.8.2 无源场（管状场） 336
13.8.3 Laplace场 338
13.8.4 一般场 340
13.9.1 标量场及向量场中的全微分 342
13.9 不平稳场 342
13.9.3 关于向量线及向量管保持不变的定理 343
13.9.2 标量场及向量场中的积分公式 343
14.1 引言 344
14 张量分析基础 344
14.2 张量与张量空间 345
14.3.1 缩并与标积 350
14.3 张量代数 350
14.3.2 内积空间中的缩并与点乘 351
14.3.3 置换、对称化与反称化 352
1 4.3.4 外形式与外积 354
14.3.5 广义Kronecker符号，Ricci符号，矩阵的行列式 356
14.3.6 容积元及Hodge星算子 358
14.4.1 仿射量的基本性质及运算 359
14.4 二阶张量（仿射量） 359
14.4.2 仿射量的不变量 364
14.4.3 几种特殊仿射量的性质 365
14.4.4 仿射量的分解 367
14.5.1 赋范张量空间与距离 368
14.5 张量分析 368
14.5.2 张量函数的极限与连续性 370
14.5.3 张量函数的导数与微分 371
14.6.1 张量场及绝对微分学 376
14.6 张量场 376
14.6.2 曲线坐标中的张量场 378
14.6.3 张量场的积分定理 383
14.6.4 Riemann-Christoffel张量 386
15.1 引言 388
15 复平面与复变函数 388
复变函数论 388
15.2.1 复平面 389
15.2 复数的几何表示 389
15.2.2 用平面向量表示复数 390
15.2.3 复数在极坐标系下的表示法 391
15.3.1 加、减法 392
15.3 复数的运算法及其几何意义 392
15.3.2 乘法 393
15.3.3 除法 394
15.3.4 倒数 395
15.4 复平面上的点集 396
15.3.5 方根 396
15.5 球极投影 398
15.6 复数列的极限 400
15.7.1 收敛定义及其判别法 401
15.7 复数项级数的收敛性 401
15.7.2 绝对收敛级数的性质 402
1 5.8 路径与域 403
1 5.9 复变函数 405
16.2 复变函数的极限与连续性 409
16.1 引言 409
16 解析函数 409
16.3 复变函数的导数 411
16.4 复变函数的解析性 413
16.5.1 指数函数 415
16.5 初等超越函数 415
16.5.2 三角函数 417
16.5.3 双曲函数 419
16.6.1 根式函数ω=？及其解析分支 420
16.6 多值函数 420
16.6.2 对数函数 422
16.6.4 反三角函数 425
16.6.3 一般幂函数 425
16.6.5 反双曲函数 426
17.2 复变函数的积分 427
17.1 引言 427
17 复变函数的积分 427
1 7.3 Cauchy积分定理及其简单的推论与扩充 430
17.4 Cauchy积分公式 433
17.5 最大模原理与调和函数 436
18.2 函数项级数的一致收敛性 438
18.1 引言 438
18 幂级数 438
18.3 幂级数 440
18.4 Taylor级数 445
18.5 解析开拓 448
18.6.1 Laurent展开式 455
18.6 Laurent级数 455
18.6.2 孤立奇点及其分类 457
18.6.3 解析函数在∞点的性质 459
18.7.2 亚纯函数 461
18.7.1 整函数 461
18.7 整函数与亚纯函数 461
19.2 留数定理 463
19.1 引言 463
19 留数定理及其应用 463
19.3 留数定理对亚纯函数的应用 466
19.4 留数定理在积分计算中的应用 470
20.2.1 导数模的几何意义 477
20.2 保角映射 477
20 保角（共形）映射 477
20.1 引言 477
20.2.3 保角映射及其性质 478
20.2.2 导数辐角的几何意义 478
20.3.1 几何作用 479
20.3 分式线性函数ω=az+b/cz+d 479
20.3.3 保圆性、保对称性 480
20.3.2 解析性、单叶性、保角性 480
20.3.5 几个重要的分式线性函数 482
20.3.4 惟一确定分式线性函数的条件 482
20.5 例题 484
20.4 存在定理 边界对应定理 484
20.6 常见的保角映射 488
20.7.1 平面向量场 495
20.7 若干应用 495
20.7.3 平面流速场的复势 499
20.7.2 用复变量表示平面向量场 499
20.7.4 平面静电场的复势 501
20.7.5 Жуковский机翼 502
20.7.6 平行板电容器 504
21.1 微分方程 508
21 常微分方程的一般概念 508
常微分方程 508
21.2 微分方程的解 509
22.1 可积类型及其解法要点 511
22 一阶微分方程 511
22.2 一阶微分方程的一些基本定理 518
22.3 奇解及其解法 520
22.4 一阶微分方程的几何意义 522
23 高阶微分方程及微分方程组 525
23.1 高阶微分方程 525
23.2 微分方程组 531
24 线性微分方程 537
24.1 线性微分方程的一般理论 537
24.2 常系数齐次线性方程的解法 541
24.3 常系数非齐次线性方程的解法 542
24.4 变系数线性微分方程的幂级数解 555
24.5 线性微分方程组 561
24.6 常系数线性微分方程组的解法 564
24.7 在振动问题上的应用 570
24.8 二阶线性微分方程的边值问题 574
24.9 本征值问题 581
25 稳定性理论 585
25.1 基本概念 585
25.2 常系数齐次线性方程组零解的稳定性 587
25.3 按线性近似判定稳定性 593
25.4 Liapunov第二方法 596
25.5 V函数的某些做法和应用 600
25.6 周期解和极限环 625
26 非线性微分方程的近似解法 628
26.1 图解法 628
26.2 摄动法 635
26.3 谐波线性化方法 643
27.1 关于矩阵分析的引言 645
27 矩阵范数与测度 645
27.2 向量的范数 645
矩阵分析与线性系统 645
27.3 矩阵的范数 646
27.4 矩阵的测度 647
28 矩阵的谱分解与不等式 650
28.1 单纯矩阵 650
28.2 单纯矩阵的谱分解 651
28.3 几种矩阵的关系 652
28.4 有关特征值的不等式（矩阵不等式） 653
29 矩阵序列与矩阵级数 656
29.1 向量序列 656
29.2 矩阵级数 657
30.1 引言 660
30.2 矩阵的导数 660
30 矩阵的微分与积分 660
30.3 关于向量及矩阵的导数 662
30.4 向量及矩阵导数的应用 665
30.5 向量及矩阵的积分 666
30.6 向量函数的Cramer行列式与内积 668
31.1 引言 673
31.2 矩阵多项式 673
31 矩阵函数 673
31.3 矩阵函数 675
31.4 矩阵函数的标准形 678
31.5 矩阵分析的几个常用结果 688
32 系统分析中的某些概率统计基础 691
32.1 统计分布的部分结果 691
32.2 关于极限的定理 692
32.3 估计理论 694
32.4 有关鞅论的几个结果 698
33.2 连续线性系统的数学模型 701
33.1 引言 701
33.2.1 线性系统建模 701
33 连续线性系统 701
33.2.2 状态空间模型 703
33.2.3 输入输出模型 704
33.3 时变系统的解 705
33.4 定常线性系统 707
33.5 eAt及其计算 709
33.6 连续线性系统的可控性与可观测性 718
33.7 可控系统的典范形 723
33.8 可观测系统的典范形 728
34 离散线性系统 730
34.1 离散线性系统建模的例 730
34.2 Z变换 731
34.3 差分方程 734
34.4 常系数差分方程 736
34.5 一阶差分方程组 738
34.6 解的稳定性 742
34.7 离散线性系统的输入输出模型 744
34.8 离散线性系统的状态空间模型 745
34.9 离散系统的可控性与可观测性 746
34.11 几类线性系统模型的互换 747
34.11.1 连续线性系统单输入单输出模型化为状态空间模型 747
34.10 可控与可观测典范形 747
34.11.2 连续线性系统的离散化 748
34.11.3 离散状态空间模型化为输入输出模型 749
34.11.4 输入输出模型化为状态空间模型 750
35 线性系统对随机输入的响应 751
35.1 平稳过程与拟平稳过程 751
35.2 确定性信号的谱表示 752
35.3 连续时间平稳信号的谱 753
35.4 离散平稳信号的谱 754
35.5 向量随机序列的谱 755
35.6 白噪声 756
35.7 例 757
35.8 连续线性系统对随机输入的响应 759
35.9 离散线性系统对随机输入的响应 761
35.10 应用 763
35.11 持续激励信号、采样定理与遍历性 765
35.12 伪随机信号 767
35.12.1 ［0,1］均匀分布的伪随机数 767
35.12.2 正态分布的伪随机数 768
36.1 引言 774
36 离散线性系统辨识的常用算法 774
系统辨识 774
36.2 LS及其病态算法 775
36.3 递推最小二乘法 777
36.4 多变量系统的LS 778
36.5 时变系统的适应算法 779
36.6 基于H-变换的RLS 780
36.8 关于一致性估计的注 781
36.7 具有不相关噪声模型的最大似然估计 781
36.9 辅助变量法与RIV 782
36.10 增广最小二乘法与RELS 783
36.11 广义最小二乘法与RGLS 784
36.12 递推最大似然法 786
37.1 模型检验 789
37 模型检验与阶的估计 789
37.2 F检验定阶法 790
37.3 AIC定阶法 791
38.1 预报误差模型 793
38 预报误差方法与状态空间模型辨识 793
38.2.2 噪声方差为未知的情形 797
38.2.1 噪声方差为已知的情形 797
38.2 PEM与ML的关系 797
38.3 Kalman滤波的基本结果 798
38.4 增广Kalman滤波 800
38.5.2 自适应辨识算法 802
38.5.1 引言 802
38.5 状态空间模型的自适应辨识 802
38.5.3 算法 803
38.6 应用 804
38.5.4 EKF的参数估计初始化问题 804
39.1 引言 809
39 连续系统的辨识 809
39.3 InF的解析算法 810
39.2 采样与模型 810
39.4 InF的级数算法 812
39.5 InF的数值迭代算法 813
40.2 最小方差预报 815
40.1 引言 815
40 系统预报 815
40.3.1 模型 816
40.3 权函数模型的预报 816
40.3.2 预报函数（预报器） 817
40.4.1 模型 818
40.4 输入输出模型的预报 818
40.3.3 多变量系统的预报 818
40.4.2 预报函数（预报器） 819
40.6.1 引言 820
40.6 自适应预报 820
40.5 状态空间模型的预报 820
40.6.2 PEM自适应预报算法 821
41.1 基本概念 823
41 偏微分方程基本概念 823
偏微分方程 823
41.2 定解条件 824
41.3 定解问题 826
41.4 偏微分方程分类 828
42.1 一阶线性偏微分方程 832
42 一阶偏微分方程 832
42.2 一般一阶偏微分方程 835
42.3 一阶偏微分方程组Cauchy-Kovalevskaya定理 837
43.1 一维波动方程的行波解 841
43 行波法与分离变量法 841
43.2 Sturm-Liouville固有值问题 845
43.3 一维混合问题的分离变量法 846
43.4 高维混合问题的分离变量法Laplace方程的解 857
44.1 Fourier变换与Cauchy问题 869
44 积分变换法 869
44.2 广义函数与基本解 871
44.3 Laplace变换 879
44.4 Laplace变换的应用 881
44.5 积分变换表 884
45.1 Green函数与热传导方程基本解 893
45 Green函数法 893
45.2 调和函数的性质 895
45.3 Green函数与Laplace方程第一边值问题 897
45.4 特殊区域上的Green函数 899
46.1 解的惟一性 902
46 偏微分方程近代理论 902
46.2 弱解与泛函方法 904
46.3 线性算子半群与发展方程的解 908
46.4 不动点定理 911
46.5 拟微分算子 913
46.6 Lewy反例 919
47.1 基本概念与方程的分类 921
47 积分方程的一般概念 921
积分方程 921
47.2.1 微分方程初值问题与积分方程的关系 925
47.2 积分方程与微分方程的关系 925
47.3 积分微分方程 926
47.2.2 微分方程边值问题与积分方程的关系 926
47.4 连续核与L2核 927
48.1.1 第二类Volterra积分方程 930
48.1 两类Volterra积分方程 930
48 Volterra积分方程 930
48.1.2 第一类Volterra积分方程 932
48.2 两类弱奇性积分方程 933
48.3 Abel方程 935
48.4 卷积型的积分方程 936
49.1 退化核 938
49 Fredholm积分方程 938
49.2 L2核的ω-分解 940
49.3 Fredholm择一性 941
49.4 连续核的Fredholm理论 943
49.5 L2核的Fredholm公式 946
49.6 Hermite核理论 950
49.7 第一类Fredholm积分方程 957
50.1 Fredholm积分方程组 960
50 积分方程组 960
50.2 Volterra积分方程组 961
50.3 一类Fredholm型积分方程 962
51.1 Cauchy型积分 964
51 Cauchy奇异积分方程 964
51.2 Cauchy奇异积分方程和奇异算子 966
51.3 Cauchy奇异积分方程的解法——化归为Riemann边值问题的解法 969
51.4 Cauchy奇异积分方程的解法——正则化方法 973
51.5 Cauchy奇异积分方程的基本定理 974
52.1 函数的因子分解 976
52 Wiener-Hopf积分方程 976
52.2 Wiener-Hopf方法 979
52.3 Wiener-Hopf积分方程的基本定理 984
53.2 Volterra型非线性积分方程 985
53.1 Fredholm型非线性积分方程 985
53 非线性积分方程 985
53.3 Hammerstein型非线性积分方程 987
中文—外文名词索引 990
附录 990
外文—中文名词索引 1012
外国人名表 1034
参考文献 1041