第一章 《九章算术》的形成和它的东方数学色彩 1
一、《九章算术》的成书年代与作者 1
序……………………………………………………………吴文俊 1
1．“东汉初年成书说”商榷 2
2．有关《九章算术》形成过程的历史记载 6
3．《九章算术》所反映的社会内容与成书的时代背景 11
4．关于《九章算术》的编纂年代 16
二、《九章算术》的注释者刘徽 19
1．关于刘徽的生平 20
2．《九章算术》注释者考略 23
3．刘徽的数学思想与理论贡献 26
三、《九章算术》的东方数学特色 33
1．《九章算术》的社会实用性 33
2．《九章算术》——形数结合的算法体系 35
3．从《九章算术》看传统数学的构造性 38
一、十进位位值制记数法 41
第二章 数与数的理论——从记数法到实数系 41
1．古汉字中的记数法 42
2．古文“｜”之辩析 48
3．关于算筹之起源 51
4．位值制与筹码记数 54
5．从空位到“零”的符号“○” 59
二、分数的算法与理论 62
1．从古汉字研究看分数的起源 62
2．分数概念的数学定义 67
3．约分与“更相减损术” 70
4．通分与“齐同术” 73
5．分数四则运算的意义与法则 76
6．筹算中的分数表示法 80
7．从平分术看筹算法设计 84
8．少广术与最小公倍数算法 87
三、开方运算与无理数论 91
1．中国早期的开方术 92
2．开立方与开立圆术 98
3． “以面命之”与无理根的引进 105
4．求微数法与无理数的逼近 110
5．关于带从开方法的注记 112
四、正负数及其运算法则 114
1．算法机械化与正负数的引进 115
2．“两算得失相反”与正负数定义 121
3．关于正负数的运算法则 122
五、从刘徽论数看中算家的数量观 125
1．“古人论数”与数之为用 125
2．中算家的数“位”观念 128
3．中算家的“数”、“算”同义观 131
4．关于数的分类与异类变通 132
5．关于数与几何量的统一观 133
第三章 筹式及其算法理论——从比率算法到“方程”术 136
一、率的概念和比率基本算法 136
1．从物物交换中产生的率概念 137
2．率概念的数学定义 140
3．数量关系与“势”的涵义 142
4．比率的基本算法——今有术 145
5．比率的“相通”与齐同术 148
6．“其率术”之辩 151
二、比率诸术与应用问题解法 161
1．衰分术与“比例分配”问题 161
2．返衰术与反比例问题 164
3．均输术与复杂分配问题 167
4．以比率算法解各种应用问题 177
三、盈不足术与双假设法 185
1．盈不足术产生的数学历史背景 186
2．盈不足术的由来和理论根据 189
3．双假设法在《九章算术》中的应用 196
4．“单假设法”释疑 204
四、中算家的“方程”理论 206
1．数学问题模式化与“方程”的概念 207
2．方程术的演算程序 211
3．正负术与损益之说 215
4．刘徽的“方程新术” 219
5．“五家共井”与不定“方程” 224
6．古今“方程”概念之变迁 226
第四章 面积与体积的度量理论 235
一、“出入相补”原理与面积计算 236
1．从“方田”与“幂”看古代的面积概念 237
2．“出入相补”与简单图形求积 240
3．等分圆周与十二觚之幂 246
二、刘徽的割圆术与圆周率计算 249
1．圆田术的论证——以图验术 250
2．π=？的计算——以术推率 258
3．π=？的计算——以率消息 263
4．刘徽“出斯二法”考辩 270
三、宛田、弧田与面积的近似计算 276
1．“宛田术”辩析 277
2．弧田术与刘徽的无穷逼近法 285
3．从环田术看“以盈补虚” 290
四、多面体的体积理论 293
1．“刘徽原理” 295
2．“功实之主”与多面体的分割 303
3．“以？验术”与体积公式推证 315
4．刘徽多面体体积理论的体系与特色 320
五、简单曲面体与球的体积计算——从截面原理到牟合方盖 322
1．中算家的体积概念与截面原理 323
2．早期算家对球积公式的探求 334
3．“牟合方盖”与球积公式 342
4．为“刘-祖截面原理”正名 347
第五章 勾股术与测望理论 351
一、勾股定理与勾股术 352
1．刘徽勾股术注与赵爽勾股图说 353
2．解勾股形与勾股术 357
3．关于“弦图”的复原 371
二、整数勾股弦之研究 374
1．整数勾股弦与勾股定理 376
2．刘徽对整勾股数定理的证明 380
3．关于古代勾股数公式的辩证 383
三、勾股容方与勾股容圆——从“出入相补”到“不失本率原理” 386
1．没有平行性与相似形理论的几何学 386
2．勾股容方与“不失本率原理” 390
3．“勾股容圆”术及其证明 396
四、勾股测量与“旁要”之术 400
1．“邑方”问题与参直法 400
2．立表法与连索法的应用 407
五、从勾股比率论到重差术 411
1．赵爽“日高图说”的古证复原 413
2．景差原理与重差术 416
3．重差术的理论根据 418
4．《海岛算经》九问造术之探讨 422
第六章 刘徽的极限观念 432
一、先秦哲学中萌芽的无限数学观念 434
1．先秦诸子对宇宙无限性的认识 434
2．“端”的概念与空间连续性的刻画 436
二、古代中西数量观之比较 441
1．中西数量观的不同渊源 441
2．中国与希腊“比例论”之比较 445
3．几何代数化与代数几何化两种倾向 447
三、刘徽的极限论与欧多克斯的穷竭法 449
1．东、西方关于圆面积研究之比较 450
2．刘徽原理与希腊三棱锥体积公式 453
四、微积分与东方数学传统 457
1．微积分的产生与算法精神 457
2．中算家早已接近了微积分的大门 463
附录 关于《九章算术》及其刘徽注研究论文目录 469
本书英文提要 486
后记 491