第1章 曲线的几何性质 1
1.1 引言 1
1.2 弧长参数化 9
1.3 Frenet公式 11
1.4 非单位速度曲线 19
1.5 曲率和挠率的一些结论 24
1.6 格林定理及等周不等式 27
1.7 几何曲线与Maple 30
第2章 曲面 47
2.1 引言 47
2.2 曲面的几何性质 54
2.3 曲面的线性代数 61
2.4 法曲率 65
2.5 曲面和Maple 69
第3章 曲率 77
3.1 引言 77
3.2 曲率的计算 80
3.3 旋转曲面 86
3.4 高斯曲率公式 89
3.5 曲率的一些结果 92
3.6 德洛奈曲面 97
3.7 椭圆函数、Maple和几何 100
3.8 用Maple计算曲率 109
第4章 常平均曲率的曲面 118
4.1 引言 118
4.2 极小曲面的基本概念 120
4.3 极小化面积 124
4.4 常平均曲率 127
4.5 调和函数 132
4.6 复变量 134
4.7 等温坐标 136
4.8 Weierstrass-Enneper表示 137
4.9 Maple和极小曲面 146
4.9.1 极小曲面作图 146
4.9.2 极小曲面方程 148
4.9.3 几何条件：旋转极小曲面 148
4.9.4 代数条件 150
4.9.5 Maple和极小化面积 151
第5章 测地线、度量及等距 154
5.1 引言 154
5.2 测地线方程和克莱罗关系式 158
5.3 关于完备性的简要讨论 166
5.4 非R3中的曲面 167
5.5 等距和共形映射 173
5.6 测地线和Maple 178
5.6.1 绘制测地线 178
5.6.2 圆锥上的测地线 183
5.6.3 圆柱上的测地线 184
5.6.4 波状体曲面上的测地线 186
5.6.5 非R3中曲面的测地线 189
5.6.6 球极平面及墨卡托投射 191
5.7 工业上的应用 195
第6章 完整性及高斯-博内定理 204
6.1 引言 204
6.2 修正的共变微商 206
6.3 平行向量场及完整性 207
6.4 傅科摆 210
6.5 角的剩余定理 212
6.6 高斯-博内定理 214
6.7 高斯-博内定理的应用 216
6.8 测地极坐标 220
6.9 Maple和完整性 226
第7章 变分法和几何 231
7.1 欧拉-拉格朗日方程 231
7.2 横截性和自然边界条件 236
7.3 基本例子 239
7.4 高阶问题 243
7.4.1 高阶欧拉-拉格朗日方程 243
7.4.2 高阶自然边界条件 248
7.5 魏尔斯特拉斯E-函数 249
7.6 带约束条件的问题 258
7.6.1 积分约束条件 258
7.6.2 完整性约束条件 262
7.6.3 微分方程约束条件 265
7.7 微分几何与力学中的进一步应用 267
7.8 庞特里亚金最大值原理 275
7.9 关于气球形状的应用 278
7.10 变分法和Maple 285
7.10.1 基本欧拉-拉格朗日程序 285
7.10.2 压力作用下的梁柱 288
7.10.3 双摆 292
7.10.4 被约束的粒子的运动 294
7.10.5 Maple和聚酯薄膜气球 296
第8章 高维略谈 298
8.1 引言 298
8.2 流形 298
8.3 共变微商 301
8.4 克利斯朵夫符号 307
8.5 曲率 312
8.6 有趣的双重性质 323
附录 部分练习的提示及解答 328
参考文献 340
索引 344