前言 1
第1篇 高等数学 1
1.1 函数 1
1.1.1 求两类函数的表达式 1
题型一 求分段函数的反函数的表达式 1
目录 1
题型二 求分段函数的复合函数的表达式 2
题型一 判别经四则运算后的函数的奇偶性 4
题型二 判别自变量带相反符号的两同名函数的代数和的奇偶性 4
1.1.2 判别（证明）几类函数的奇偶性 4
题型三 判别复合函数的奇偶性 5
题型四 判别原函数F（x）＝？f（t）dt的奇偶性 5
题型五 判别函数（akx±1）／（akx？1）的奇偶性（a＞0,a≠1,k≠0） 6
题型六 证明分段函数的奇偶性 7
1.1.3 奇、偶函数的几个性质的应用 7
1.1.4 判别（证明）函数的周期性 9
习题1.1 11
1.2 极限、连续 14
1.2.1 极限的概念与基本性质 14
题型一 正确理解极限定义中的“ε-N”、“ε-δ”、“ε-X”语言的含义 14
题型二 正确区别无穷大量与无界变量 15
题型三 正确运用极限的保序性、保号性 18
题型四 正确运用极限的四则运算法则及夹逼准则求极限 19
题型五 正确理解乘积极限的存在性 20
题型六 正确理解复合函数极限的存在性 21
1.2.2 求未定式极限 23
题型一 求？型或？型极限 23
题型二 求0·∞型极限 26
题型三 求∞-∞型极限 27
题型四 求幂指函数型（0°型，∞°型，1∞型）极限 27
题型一 求无穷多项和的极限 33
1.2.3 求数列极限 33
题型二 求无穷多项积的极限 36
题型三 求有限项之和或之积的数列极限 37
题型四 求由递推关系式给出的数列的极限 38
1.2.4 求几类子函数形式特殊的函数极限 40
题型一 求须先考察左、右极限的函数极限 40
题型二 求含1/x的函数极限 43
题型三 求含根式差的函数极限 43
题型四 求含指数函数差的函数极限 44
题型五 求含极限不存在但有界的因式的函数极限 45
题型一 已知含未知函数的一（些）极限，求与该函数有关的函数极限 46
1.2.5 计算极限的几类综合题 46
题型六 求含取整函数的函数极限 46
题型二 计算需用多个知识点求出的极限 48
1.2.6 求极限式中的待定常数 50
题型一 求有理函数极限式中的待定常数 50
题型二 确定分式函数极限式中的参数 52
题型三 求∞±∞型的根式极限式中的待定常数 54
题型四 求含变项积分的极限式中的待定常数 55
1.2.7 比较和确定无穷小的阶 55
题型一 比较无穷小的阶 57
题型二 确定无穷小的阶数 58
题型三 利用无穷小阶的比较求待定常数 60
1.2.8 讨论函数的连续性及间断点的类型 62
题型一 判别函数的连续性 62
题型二 求函数的间断点并判断其类型 68
1.2.9 根据函数的连续性确定待定常数 71
1.2.10 用连续函数性质证明中值命题 73
题型一 证明存在一点ξ，使f（ξ）＝k（k为定值） 73
题型二 已知函数或（和）其导数在闭区间上的取值情况，证明中值等式 75
习题1.2 77
题型一 用导数定义求某些分式函数的极限 82
1.3.1 导数定义的两点应用 82
1.3 一元函数微分学 82
题型二 讨论函数在某点的可导性 83
1.3.2 讨论分段函数的可导性及其导函数的连续性 87
题型一 讨论分段函数的可导性 87
题型二 讨论分段函数的导函数的连续性 91
题型三 确定待定常数，使分段函数可导 92
1.3.3 讨论含绝对值的函数的可导性 96
题型一 讨论绝对值函数｜f（x）｜的可导性 96
题型二 讨论f（x）＝｜？（x）｜g（x）的可导性 97
题型一 求复合函数的导数 99
1.3.4 求一元函数的导数和微分 99
题型二 求反函数的导数 100
题型三 求隐函数的导数 102
题型四 求由参数方程所确定的函数的导数 104
题型五 求分段函数的一阶、二阶导数 106
题型六 求幂指函数f（x）g（x）的导数 107
题型七 求某些简单函数的高阶导数 108
题型八 求一元函数的微分 110
1.3.5 利用罗尔定理证明中值等式 111
题型一 证明导函数的零点存在问题 111
题型二 证明存在ξ∈（a,b），使g（ξ）f′（ξ）＋h（ξ）f（ξ）＝0 113
题型三 证明存在ξ∈（a,b），使f′（ξ）＋g（ξ）f（ξ）＝0 114
题型四 证明存在ξ∈（a,b），使g（ξ）f′（ξ）＋h（ξ）f（ξ）＝Q（ξ） 115
题型五 证明存在ξ∈（a,b），使G（ξ）＝0 116
题型六 证明含区间端点及其函数值的中值等式 116
题型七 已知函数在区间端点的值相等，证明与该函数有关的中值等式 117
题型八 证明题设中有定积分等式的中值等式 118
题型九 证明存在ξ∈（a,b），使F（k）（ξ）＝0（k≥2） 120
1.3.6 拉格朗日中值定理的几点应用 121
题型一 证明与函数改变量有关的问题 121
题型二 证明与切线斜率有关的中值等式 123
题型三 已知导函数的性质，证明其原来函数的性质 124
题型二 证明含中值？的一端为两函数导数比的中值等式 126
1.3.7 利用柯西中值定理证明中值等式 126
题型一 证明一端为两函数增量比的中值等式 126
题型三 证明使用柯西中值定理的两函数没有给出的中值等式 128
1.3.8 证明多个中值所满足的中值等式 129
1.3.9 泰勒定理的几点应用 131
题型一 求函数的泰勒展开式 132
题型二 用带皮亚诺型余项的泰勒公式求极限 134
题型三 证明含高阶导函数的中值命题 135
题型四 用泰勒公式证明不等式 136
题型五 同求同一点的不同阶的导数值 138
题型一 证明函数在某区间上是常数 139
1.3.10 利用导数讨论函数性态 139
题型二 证明（判别）函数的单调性 141
题型三 利用极限式讨论函数是否取得极值 142
题型四 利用二阶微分方程讨论函数是否取极值，其曲线是否有拐点 144
题型五 利用导数（值）的不等式，讨论函数是否取极值，其曲线是否有拐点 145
题型六 已知某点为极值点或拐点，讨论相关函数性质 146
题型七 求函数的单调区间、极值、最值 147
题型八 求曲线凹凸区间与拐点 151
题型九 求曲线的渐近线 153
题型十 利用函数性态作函数图形 155
题型十一 已知函数的图形，确定该函数或其导函数的性质 158
1.3.11 利用函数性态讨论方程的根 159
题型一 讨论不含参数的方程实根的存在性及其个数 159
题型二 讨论含参数的方程实根的存在性及其个数 161
题型三 已知方程根的个数，求其参数的取值范围 162
1.3.12 利用导数证明不等式 164
题型一 证明与函数改变量有关的不等式 164
题型二 已知F（a）≥0（或F（b）≥0），证明x＞a（或x＜b）时F（x）＞0 166
题型三 证明含常数加项的不等式 169
题型四 证明含两个变量（常数）的函数（数值）不等式 170
题型一 求平面曲线的切线方程和法线方程 172
1.3.13 一元函数微分学的几何应用 172
题型二 求解与切线在坐标轴上的截距有关的问题 175
题型三 求解与两曲线相切的有关问题 178
题型四 求解与平面曲线的曲率有关的问题 179
习题1.3 181
1.4 一元函数积分学 187
1.4.1 原函数与不定积分的关系 187
题型一 已知某函数，求其原函数 187
题型二 已知某函数的一个原函数，求该函数 190
题型一 计算？f(x)g(x)dx 191
1.4.2 计算不定积分 191
题型二 计算简单无理函数的不定积分 192
题型三 求？，其中k≠1为正实数 196
题型四 求？ 197
题型五 求被积函数含反三角函数的积分 201
1.4.3 利用定积分性质计算定积分 202
题型一 利用其几何意义计算定积分 202
题型二 计算对称区间上的定积分 203
题型三 计算周期函数的定积分 204
题型四 利用定积分的常用计算公式求其值 205
题型五 计算被积函数含导函数的积分 207
题型六 比较和估计定积分的大小 208
题型七 求解含积分值为常数的函数方程 209
题型八 计算几类须分子区间积分的定积分 210
题型九 计算含参数的定积分 214
题型十 求需换元计算的定积分 215
题型十一 求连续函数的定积分的极限 218
1.4.4 求解与变限积分有关的问题 221
题型一 求含变限积分的未定型极限 221
题型二 求变限积分的导数 224
题型三 计算变限积分 225
题型四 讨论变限积分函数的性态 228
题型一 证明定积分的变换公式 231
1.4.5 证明定积分等式 231
题型二 证明定积分中值等式 233
1.4.6 证明定积分不等式 236
1.4.7 计算广义积分 240
题型一 计算无穷区间上的广义积分 240
题型二 判别？与？的敛散性（a＞0） 243
题型三 计算无界函数的广义积分 244
题型四 判别？与？的敛散性 247
题型五 判别混合型广义积分的敛散性 247
题型一 已知曲线方程，求其所围平面图形的面积 249
1.4.8 定积分的应用 249
题型二 求旋转体体积 253
题型三 计算旋转体的侧面积 255
题型四 计算平行截面为已知的立体体积 256
题型五 计算平面曲线的弧长 258
题型六 计算面积和旋转体体积的最值 260
题型七 计算物体沿直线所做的功 264
题型八 计算压力与引力 266
题型九 求函数在区间上的平均值 270
习题1.4 270
1.5.1 二（多）元函数微分学中的几个概念 277
1.5 多元函数微积分学 277
题型一 判别二元函数的几个基本概念的关系 278
题型二 用定义判别二元函数是否可微 279
1.5.2 计算偏导数与全微分 282
题型一 计算显函数的偏导数 282
题型二 求带抽象函数记号的复合函数偏导数 284
题型三 计算由一个方程确定的隐函数的（偏）导数 290
题型四 求由方程组确定的隐函数的（偏）导数 291
题型五 变换含一阶、二阶偏导数的表示式 293
题型六 求二元函数的全微分 293
题型一 求二元函数的极值和最值 295
1.5.3 多元函数微分学的应用 295
题型二 求二（多）元函数的条件极值 298
1.5.4 用直角坐标系计算二重积分 299
题型一 根据积分区域选择积分次序计算二重积分 299
题型二 根据被积函数选择积分次序计算二重积分 300
题型三 证明二重（二次）积分等于单积分 304
题型四 利用对称性计算二重积分 305
题型五 分块计算二重积分 310
题型六 计算无界区域上较简单的二重积分 313
题型一 计算圆域x2+y2≤a（a＞0）上的二重积分 316
1.5.5 用极坐标系计算二重积分 316
题型二 计算圆域x2+y2≤2ax（a＞0）上的二重积分 317
题型三 计算圆域x2+y2≤-2ax（a＞0）上的二重积分 317
题型四 计算圆域x2+y2≤2by（b＞0）上的二重积分 319
题型五 计算圆域x2+y2≤-2by（b＞0）上的二重积分 320
题型六 计算圆域x2+y2≤2ax+2by+c（a,b＞0）上的二重积分 321
题型七 计算两圆域公共部分上的二重积分 322
题型八 转换二次积分 323
1.5.6 求含二重积分的极限 325
习题1.5 327
题型一 求解变量可分离的微分方程 332
1.6.1 求解一阶线性微分方程 332
1.6 常微分方程 332
题型二 求解齐次微分方程 333
题型三 求解一阶线性微分方程 334
题型四 求解以x为因变量，y为自变量的一阶线性微分方程 337
1.6.2 求解几类可降阶的微分方程 338
题型一 求解y(n)=f（x）型微分方程 338
题型二 求解y″＝f（x,y′）型微分方程 339
题型三 求解y″＝f（y,y′）型微分方程 340
题型四 求解y″＝f（y′）型微分方程 340
1.6.3 求解二阶常系数线性微分方程 341
题型一 求解常系数齐次线性微分方程 343
题型二 求解二阶常系数非齐次线性微分方程 346
题型三 求微分方程具有某性质的特解 351
1.6.4 已知特解反求二阶或高于二阶的线性常系数方程 353
题型一 已知其特解，反求该齐次方程 353
题型二 已知其特解，反求该非齐次方程 355
1.6.5 微分方程的简单应用 357
题型一 已知某曲线所围图形的几何量所满足的关系，反求该曲线 357
题型二 求解与一些物理量有关的问题 360
题型三 求解未知函数所满足的方程 365
题型四 利用导数定义求函数表达式 368
习题1.6 369
第2篇 线性代数 373
2.1 计算行列式 373
2.1.1 计算特殊行列式 373
题型一 计算非零元素（主要）在一条或两条对角线上的行列式 373
题型二 计算非零元素在三条线上的行列式 377
题型三 计算行（列）和相等的行列式 378
题型四 计算范德蒙行列式 379
题型五 求代数余子式之和的值 381
题型六 求行列式中含某因子的所有项 383
题型七 计算三阶行列式 384
2.1.2 计算抽象矩阵的行列式 385
题型一 求由行（列）向量表示的矩阵的行列式的值 385
题型二 计算与伴随矩阵有关的矩阵行列式 387
题型三 求满足方程的矩阵的行列式之值 389
题型四 已知某矩阵行列式的值，求与该矩阵相关联矩阵的行列式的值 390
题型五 计算含零子块的四分块矩阵的行列式 390
题型六 证明方阵行列式等于零 392
题型七 利用特征值计算矩阵行列式 393
习题2.1 393
题型一 证明矩阵可逆 397
2.2.1 证明矩阵的可逆性 397
2.2 矩阵 397
题型二 已知cAB+aA+bB+dE=0，证明A+eE（或B+eE）可逆，其中a,b,c,d,e为常数 399
题型三 证明和（差）矩阵可逆 401
题型四 证明方阵为不可逆矩阵 402
2.2.2 矩阵元素给定，求其逆矩阵的方法 402
2.2.3 求解矩阵方程 407
题型一 求解只含一个未知矩阵的矩阵方程 407
题型二 求解含多个未知矩阵的矩阵方程 408
题型三 求解AX=B或XA=B 411
题型四 求与已知矩阵可交换的所有矩阵 413
2.2.4 计算两类方阵的高次幂 414
题型一 计算能分解为一列向量与一行向量相乘的方阵的高次幂 414
题型二 计算能分解为两可交换矩阵之和的方阵的高次幂 416
2.2.5 求矩阵的秩 417
题型一 求元素具体给定的矩阵的秩 417
题型二 抽矩阵的秩 419
题型三 已知矩阵的秩求该矩阵中的参数 422
2.2.6 初等变换及其应用 424
题型一 利用初等变换性质解题 425
题型二 用初等矩阵表示相应的初等变换 426
题型三 利用初等矩阵的性质计算矩阵 427
2.2.7 判别两同型矩阵等价或不等价 428
2.2.8 几种特殊矩阵的运算规律 430
习题2.2 434
2.3 向量 440
2.3.1 判定向量组线性相关、线性无关 440
题型一 用线性相关性定义做选择题、填空题 440
题型二 判定分量已知的向量组的线性相关性 442
题型三 证明几类向量组的线性相关性 444
2.3.2 判定向量能否由向量组线性表出 450
题型一 判定分量已知的向量能否由向量组线性表出 450
题型二 判断一抽象向量能否由向量组线性表出 453
2.3.3 证明两向量组等价 455
2.3.4 求向量组的秩与极大线性无关组 459
题型一 求分量给出的向量组的秩及其极大线性无关组 459
题型二 将向量用极大无关组线性表出 461
2.3.5 已知向量组的秩求其所含参数 462
2.3.6 证明向量组的秩 465
习题2.3 469
2.4 线性方程组 474
2.4.1 判定线性方程组解的情况 474
题型一 判定齐次线性方程组解的情况 474
题型二 判定非齐次线性方程组解的情况 477
2.4.2 由其解反求方程组的参数或其系数矩阵 481
题型一 已知AX=0的解的情况，反求A中参数 481
题型二 已知AX=b的解的情况，反求方程组中的参数 482
题型三 已知其基础解系，求该方程组的系数矩阵 484
2.4.3 证明一组向量为基础解系的常用方法 485
2.4.4 基础解系和特解的简便求法 488
2.4.5 求解含参数的线性方程组 490
题型一 求解方程个数与未知数个数相等的含参数的线性方程组 490
题型二 求解方程个数与未知数个数不等的含参数的线性方程组 496
题型三 求解参数仅出现在常数项的线性方程组 497
2.4.6 求抽象线性方程组的通解 499
题型一 A没有具体给出，求AX=0的通解 499
题型二 已知AX=b的特解，求其通解 500
题型三 利用线性方程组的向量形式求（证明）其解 503
2.4.7 求两线性方程组的非零公共解 504
题型一 求两齐次线性方程组的非零公共解 504
题型二 讨论两方程组同解的有关问题 507
习题2.4 509
2.5.1 求矩阵的特征值、特征向量 516
题型一 求元素已给出的矩阵的特征值、特征向量 516
2.5 矩阵的特征值、特征向量 516
题型二 求（证明）抽象矩阵的特征值、特征向量 519
2.5.2 由特征值和（或）特征向量反求矩阵或矩阵中的参数 523
题型一 由特征值和（或）特征向量反求矩阵中的参数 523
题型二 已知特征值、特征向量，反求其矩阵 525
2.5.3 已知一矩阵的特征值、特征向量，求相关联矩阵的特征值、特征向量 528
2.5.4 判别方阵能否对角化 531
题型一 判别元素给定的矩阵能否对角化 531
题型二 判别抽象矩阵能否对角化 534
题型一 判定两矩阵是否相似 535
2.5.5 相似矩阵性质的简单应用 535
题型二 计算相似矩阵的行列式 538
题型三 求相似矩阵的秩 539
题型四 计算相似矩阵的特征值 540
题型五 确定相似矩阵中的参数 541
题型六 计算相似矩阵的高次幂 542
2.5.6 与两矩阵相似有关的计算 544
题型一 n阶矩阵A可相似对角化，求A中参数及可逆阵P，使P-1AP=diag（λ1，λ2，…，λn）（λi为A的特征值） 544
题型二 求n阶实对称矩阵A中参数及正交矩阵Q，使Q-1AQ=QTAQ=diag（λ1，λ2，…，λn）（λi为A的特征值） 546
题型三 已知矩阵A和可逆阵P满足P-1AP=B，求方阵B 547
习题2.5 548
习题答案与提示 553