第1章 数值计算中的误差分析 1
1.1 数值计算的对象、任务与特点 1
1.2 误差与数值计算的误差估计 2
1.2.1 误差的来源与分类 2
1.2.2 误差与有效数字 4
1.2.3 数值计算的误差估计 8
1.3 选用和设计计算方法时应遵循的原则 10
1.3.1 选用数值稳定的计算公式，控制舍入误差的传播 10
1.3.2 尽量简化计算步骤以便减少运算次数 12
1.3.3 尽量避免两个相近的数相减 13
1.3.4 绝对值太小的数不宜作除数 14
1.3.5 合理安排运算顺序，防止大数吃掉小数 14
1.3.6 算法与程序设计实例 15
习题 18
第2章 插值与逼近 20
2.1 插值概念 20
2.1.1 插值定义 20
2.1.2 插值函数的存在唯一性 21
2.2.1 多项式插值 25
2.2 多项式插值、单节点插值的Lagrange型公式 25
2.2.2 单节点多项式插值的Lagrange型公式 26
2.2.3 多项式插值的误差 28
2.3 单节点多项式插值的Newton型公式 32
2.3.1 差商、差商表 32
2.3.2 单节点多项式插值的Newton型公式 33
2.4 差分与等距节点插值公式 36
2.4.1 差分及其性质 36
2.4.2 等距节点的多项式插值的Newton型公式 37
2.5.1 Hermite插值 41
2.5 Hermite插值 41
2.5.2 二重Hermite插值多项式 42
2.6 分段低阶插值 45
2.6.1 Runge现象 45
2.6.2 分段线性插值 46
2.6.3 分段三次Hermite插值 47
2.7 三次样条插值 49
2.7.1 三次样条函数与三次样条插值 49
2.7.2 三次样条插值的m关系式 50
2.7.3 三次样条插值的M关系式 53
2.7.4 样条插值求解 55
2.7.5 样条插值的极性及收敛性 57
习题 60
第3章 矩阵与线性代数方程组 63
3.1 一般线性代数方程组的直接解法 64
3.1.1 高斯消去法 64
3.1.2 选主元 68
3.1.3 高斯—约当消去法 71
3.2.1 三对角方程组 72
3.2 带型方程组 72
3.2.2 一般带型方程组 75
3.2.3 压缩存储下带型方程组的求解 77
3.3 线性代数方程组的迭代解法 79
3.3.1 简单迭代法 79
3.3.2 高斯—赛德尔迭代法 84
3.3.3 松弛法 86
3.4 共轭梯度法 87
3.4.1 几个基本概念 88
3.4.2 共轭梯度法 89
3.5.1 矩阵的三角分解 97
3.5 矩阵分解 97
3.5.2 矩阵的QR分解 103
3.6 矩阵求逆 109
3.6.1 原地工作的矩阵求逆 110
3.6.2 全选主元矩阵求逆 115
3.7 托伯利兹系统 116
3.7.1 托伯利兹矩阵求逆的快速算法 117
3.7.2 求解托伯利兹型线性代数方程组的递推算法 124
习题 128
4.1.1 引言 131
4.1 方程求根与二分法 131
第4章 非线性方程求解 131
4.1.2 二分法 132
4.2 迭代法及其收敛性 134
4.2.1 不动点迭代法 134
4.2.2 不动点的存在性与迭代法的收敛性 137
4.2.3 局部收敛与收敛阶 139
4.3 迭代收敛的加速方法 142
4.3.1 埃特金加速收敛方法 142
4.3.2 斯蒂芬森迭代法 143
4.4.1 牛顿法及其收敛性 145
4.4 牛顿法 145
4.4.2 牛顿法应用举例 148
4.4.3 简化牛顿法与牛顿下山法 149
4.4.4 重根情形 151
4.5 弦截法与抛物线法 153
4.5.1 弦截法 153
4.5.2 抛物线法 155
4.6 解非线性方程组的牛顿迭代法 156
习题 158
5.1.1 一般求积公式及其代数精度 161
5.1 插值型数值求积公式 161
第5章 数值积分与数值微分 161
5.1.2 插值型求积公式 163
5.1.3 Newton-Cotes求积公式 165
5.1.4 Newton-Cotes求积公式的余项 167
5.1.5 Newton-Cotes求积公式的数值稳定性和收敛性 169
5.2 Gauss型求积公式 170
5.2.1 最高代数精度求积公式 170
5.2.2 Gauss点与正交多项式的联系 172
5.2.4 Gauss求积公式的数值稳定性和收敛性 173
5.2.3 Gauss求积公式的余项 173
5.2.5 几个常用的Gauss型求积公式 175
5.2.6 低阶Gauss型求积公式构造方法 177
5.3 复化数值求积公式 179
5.3.1 复化数值求积法 179
5.3.2 复化梯形公式 180
5.3.3 复化Simpson公式 181
5.3.4 复化求积公式的收敛阶 182
5.4.1 外推原理 183
5.4 外推方法 183
5.4.2 复化梯形公式余项的渐近展开 184
5.4.3 Romberg算法 185
5.4.4 外推法的进一步讨论 186
5.5 自适应求积方法 188
5.5.1 自适应计算问题 188
5.5.2 自适应算法 189
5.6 奇异积分和振荡函数积分的数值方法 191
5.6.1 奇异积分计算 191
5.6.2 振荡函数积分的计算 193
5.7.1 矩形域上乘积型求积公式 195
5.7 二元函数数值积分 195
5.7.2 三角形域上面积坐标求积方法 197
5.8 数值微分 199
5.8.1 插值函数法 199
5.8.2 差分算子近似微分算子法 202
5.8.3 隐式方法 204
习题 206
第6章 常微分方程初值问题数值解法 208
6.1.1 尤拉格式 210
6.1 尤拉法 210
6.1.2 两步尤拉格式 215
6.1.3 梯形格式 215
6.1.4 改进尤拉格式 216
6.2 龙格—库塔法 219
6.2.1 龙格—库塔法 219
6.2.2 龙格—库塔法的基本思路 220
6.2.3 二阶龙格—库塔法 222
6.2.4 三阶龙格—库塔法 225
6.2.5 四阶龙格—库塔法 226
6.2.6 步长的选择 230
6.3 线性多步法 232
6.3.1 一般形式 232
6.3.2 亚当斯格式 232
6.3.3 亚当斯预报—校正格式 236
6.3.4 误差修正法 237
6.4 收敛性与稳定性 239
6.4.1 误差分析 239
6.4.2 收敛性 240
6.4.3 稳定性 242
6.5 方程组与高阶微分方程 243
习题 248
第7章 曲线拟合的最小二乘法 252
7.1 最小二乘法的概念 253
7.2 最小二乘解的求法 254
7.3 加权最小二乘法 264
7.4 利用正交函数作最小二乘拟合 265
7.4.1 利用正交函数作最小二乘拟合的原理 266
7.4.2 利用正交多项式作多项式拟合 267
习题 269
参考文献 270