原书的序 1
第一部分 单变量函数的微分学 1
《俄罗斯数学教材选译》序 1
第一章 引论 3
第一讲 3
§1．集合．集合的运算．集合的笛卡儿乘积．映射和函数 3
第二讲 9
§2．对等的集合．可数集和不可数集．连续统的势 9
§3．实数 13
第三讲 13
第四讲 19
§4．实数集的完备性 19
§5．关于集合的分离性的引理，关于嵌套闭区间系的引理以及关于收缩闭区间序列的引理 22
第二章 数列的极限 24
第五讲 24
§1．数学归纳法、牛顿二项式以及伯努利不等式 24
§2．数列、无穷小数列和无穷大数列及其性质 27
§3．数列的极限 30
第六讲 30
§4．不等式中的极限过程 33
第七讲 35
§5．单调数列．魏尔斯特拉斯定理．数“e”和欧拉常数 35
第八讲 41
§6．关于有界数列存在部分极限的波尔查诺-魏尔斯特拉斯定理 41
§7．数列收敛的柯西准则 42
第九讲 45
§1．数值函数的极限的概念 45
第三章 函数在一点处的极限 45
§2．集合基．函数沿着基的极限 47
第十讲 52
§3．在不等式中取极限 52
§4．函数沿着基存在极限的柯西准则 53
第十一讲 55
§5．柯西的收敛定义与海涅的收敛定义的等价性 55
§6．关于复合函数的极限的定理 56
§7．无穷小函数的阶 59
第十二讲 61
§1．在一点处连续的函数的性质 61
第四章 函数在一点处的连续性 61
§2．初等函数的连续性 63
第十三讲 65
§3．重要的极限 65
§4．函数在集合上的连续性 67
第十四讲 73
§5．闭区间上的连续函数的一般性质 73
第十五讲 75
§6．一致连续的概念 75
§7．闭集和开集的性质．紧致性．紧致集上的连续函数 76
第五章 单变量函数的微分 80
第十六讲 80
§1．函数的增量．函数的微分和导数 80
第十七讲 84
§2．复合函数的微分 84
§3．微分法则 86
第十八讲 89
§4．高阶导数和高阶微分 89
§5．函数在一点处的增与减 93
§6．罗尔定理，柯西定理以及拉格朗日定理 94
第十九讲 94
第二十讲 98
§7．拉格朗日定理的推论 98
§8．一些不等式 99
§9．以参数形式给出的函数的导数 100
第二十一讲 101
§10．不定式的展开 101
第二十二讲 106
§11．局部泰勒公式 106
§12．带有一般型余项的泰勒公式 110
第二十三讲 112
§13．泰勒公式对于某些函数的应用 112
第二十四讲 115
§14．借助于导数研究函数．极值点．凸性 115
第二十五讲 120
§15．拐点 120
第二十六讲 124
§16．插值 124
§17．割线法和切线法（牛顿法）．快速计算 126
第二十七讲 126
第六章 不定积分 131
第二十八讲 131
§1．真实原函数．可积函数 131
第二十九讲 133
§2．不定积分的性质 133
第三十讲 137
补充．按海涅方式的极限概念向沿集合基收敛的函数的推广 137
第二部分 黎曼积分．多变量函数的微分学 143
§1．引言 145
第一讲 145
第七章 定积分 145
§2．黎曼积分的定义 146
第二讲 150
§3．黎曼可积的准则 150
第三讲 154
§4．函数黎曼可积的三个条件的等价性 154
§5．函数黎曼可积的特殊准则 156
§6．积分和方法 158
§7．黎曼积分作为沿着基的极限的性质 161
第四讲 161
§8．黎曼可积函数类 165
第五讲 167
§9．定积分的性质 167
§10．黎曼积分的可加性 171
第八章 黎曼积分理论的基本定理 173
第六讲 173
§1．黎曼积分作为其积分上限（下限）的函数．积分的导数 173
§2．牛顿-莱布尼茨定理 174
§3．定积分的变量变换公式与分部积分公式 177
第七讲 177
§4．关于积分中间值的第一定理和第二定理 178
第八讲 183
§5．带有积分形式余项的泰勒公式 183
§6．包含积分的不等式 188
第九讲 189
§7．函数黎曼可积的勒贝格准则 189
§8．勒贝格准则的证明 191
§1．第一类和第二类反常积分的定义 194
第九章 反常积分 194
第十讲 194
§2．反常积分收敛的柯西准则和收敛的充分条件 196
§3．反常积分的绝对收敛和条件收敛．阿贝尔判别法和狄利克雷判别法 196
第十一讲 198
§4．第二类反常积分 198
§5．反常积分的变量变换及分部积分 200
第十章 曲线的长度 202
第十二讲 202
§1．多维空间中的曲线 202
§2．关于曲线长度的定理 203
第十一章 若尔当测度 207
第十三讲 207
§1．平面图形的面积和立体的体积．若尔当测度的定义 207
§2．集合的若尔当可测准则 209
第十四讲 211
§3．若尔当测度的性质 211
§4．可求长曲线的可测性 213
§5．函数的黎曼可积性与它所成的曲边梯形的若尔当可测性之间的关系 214
§1．勒贝格测度的定义和性质 217
第十二章 勒贝格测度论与勒贝格积分论初步．斯蒂尔切斯积分 217
第十五讲 217
第十六讲 222
§2．勒贝格积分 222
第十七讲 226
§3．斯蒂尔切斯积分 226
第十三章 一般拓扑学的某些概念．度量空间 234
第十八讲 234
§1．空间的定义及基本性质 234
§2．度量空间在自然拓扑之下的豪斯多夫性质 239
第十九讲 239
§3．度量空间中集合的内点、外点和边界点 240
§4．关于收缩球序列的引理．压缩映射原理 242
第二十讲 243
§5．度量空间的连续映射 243
§6．紧集的概念．Rn中的紧集及空间Rn的完备性．紧集上的连续函数的性质 244
§7．连通集及连续性 247
§1．Rn上的连续函数 248
第二十一讲 248
第十四章 多变量函数的微分学 248
§2．Rn上的可微函数 250
第二十二讲 253
§3．复合函数的微分法 253
§4．方向导数．梯度 254
§5．微分的几何意义 255
第二十三讲 256
§6．高阶偏导数 256
§7．高阶微分．泰勒公式 258
第二十四讲 261
§8．泰勒公式的应用．多变量函数的局部极值 261
§9．隐函数 263
第二十五讲 267
§10．隐函数组 267
§11．多变量函数的条件极值 271
§12．可微映射．雅可比矩阵 273
第三部分 函数级数与参变积分 275
§1．收敛级数的基本性质．柯西准则 277
第一讲 277
第十五章 数值级数 277
第二讲 283
§2．非负项级数 283
第三讲 287
§3．非负项级数收敛的基本判别法 287
第四讲 293
§4．级数的绝对收敛和条件收敛．莱布尼茨级数 293
§5．阿贝尔判别法和狄利克雷判别法 295
§6．级数的项的重排 297
第五讲 297
第六讲 299
§7．对于收敛数列的算术运算 299
第七讲 303
§8．二重级数和累次级数 303
第十六章 函数序列与函数级数 309
第八讲 309
§1．函数级数之收敛 309
§2．一致收敛 312
§3．函数序列一致收敛的准则 314
第九讲 314
§4．一致收敛判别法 316
第十讲 319
§5．迪尼定理 319
§6．级数的逐项微分和逐项积分 320
第十一讲 324
§7．沿集合基的二重极限与累次极限 324
第十二讲 327
§8．幂级数 327
§9．无穷乘积 331
第十三讲 331
第十四讲 335
§10．无穷行列式 335
§11．等度连续及阿尔泽拉定理 338
第十七章 依赖于参数的积分 340
第十五讲 340
§1．正常参变积分及其连续性 340
§2．正常参变积分的微分和积分 342
§3．拉格朗日定理 346
第十六讲 346
第十七讲 348
§4．按海涅意义的一致收敛 348
§5．一致收敛的两个定义的等价性 349
第十八讲 352
§6．反常参变积分之一致收敛 352
第十九讲 355
§7．反常积分关于参数的连续性，可微性和可积性 355
§8．第二类反常积分 360
第二十讲 360
§9．参变积分理论的应用 361
第二十一讲 363
§10．第一类和第二类欧拉积分 363
第二十二讲 368
§11．斯特林公式 368
第十八章 傅里叶级数和傅里叶积分 372
第二十三讲 372
§1．用三角级数表示实数的小数部分．泊松求和公式．高斯和 372
§2．贝塞尔不等式．正交函数系的封闭性与完全性 380
第二十四讲 380
第二十五讲 384
§3．三角函数系的封闭性 384
§4．三角傅里叶级数的最简单的性质 388
第二十六讲 391
§5．傅里叶级数部分和的积分表示黎曼局部化原理 391
§6．傅里叶级数的点态收敛判别法 395
第二十七讲 398
§7．傅里叶系数的性状 398
§8．余切函数之展开成最简分式以及正弦函数之表示为无穷乘积 400
§9．开普勒问题和贝塞尔级数 402
第二十八讲 404
§10．费耶核与魏尔斯特拉斯逼近定理 404
§11．狄利克雷积分与最简分式展开 407
第二十九讲 410
§12．傅里叶变换与傅里叶积分 410
第三十讲 419
§13．拉普拉斯方法和稳态相方法 419
第四部分 多重黎曼积分、曲面积分 425
§1．二重黎曼积分作为沿着基的极限 427
第十九章 多重积分 427
第一讲 427
§2．达布和及其性质 430
第二讲 431
§3．矩形上的函数可积的黎曼准则 431
§4．矩形上的函数可积的特殊准则 434
第三讲 436
§5．曲面柱形的若尔当可测性 436
§6．沿有界的若尔当可测区域的二重黎曼积分的概念 438
§7．二重积分的基本性质 440
第四讲 440
§8．二重积分转化为累次积分 442
§9．可测集上的连续函数的可积性 443
第五讲 444
§10．多重积分 444
§11．凸集上的光滑映射的性质 448
第六讲 450
§12．在曲纹坐标中的区域的体积．关于多重积分的变量变换的定理 450
§13．勒贝格准则 456
第七讲 456
第八讲 460
§14．反常重积分 460
第九讲 465
§15．曲面的面积 465
§16．在n维欧几里得空间中的m维曲面的面积 469
第二十章 曲面积分 472
第十讲 472
§1．曲线积分 472
§2．曲线积分的性质 473
第十一讲 477
§3．沿闭围道的第二型曲线积分．格林公式 477
第十二讲 480
§4．曲面积分 480
§5．曲面的定向与它的边界的方向的匹配 484
第十三讲 486
§6．斯托克斯公式 486
§7．高斯-奥斯特洛格拉德斯基公式 488
§8．仅依赖于其积分限的曲线积分 492
第十四讲 492
§9．向量分析初步 495
第十五讲 500
§10．位势向量场和无源向量场 500
第二十一章 一般的斯托克斯公式 504
第十六讲 504
§1．定向多维曲面的概念 504
§2．在一般情况下曲面与其边界的定向的匹配 505
§4．微分形式中的变量变换 507
§3．微分形式 507
第十七讲 509
§5．微分形式的积分 509
§6．外微分的运算 511
§7．一般斯托克斯公式的证明 513
第十八讲 516
§8．一致分布的概念．估计傅里叶系数的一个引理 516
§9．外尔准则 519
用于讨论班和考试的示范性问题和习题 527
参考文献 539
名词索引 541