第一篇 高等数学 1
第一章 函数·极限·连续 1
第一节 函数 1
第二节 极限 2
一、极限的定义与性质 3
二、利用极限的四则运算定理求极限 4
三、利用等价无穷小代换定理求极限 5
四、利用重要极限求极限 7
五、利用两个准则求极限 9
六、利用洛必达法则求极限 12
七、利用导数定义求极限 15
八、利用定积分定义求极限 16
九、利用泰勒公式求极限 17
第三节 无穷小比较 18
第四节 连续 23
一、连续性 23
二、一元函数间断点的讨论 26
第二章 一元函数微分学 29
第一节 导数的定义 29
一、导数的定义 29
二、一元导函数的性质 33
第二节 一元函数的求导运算 36
一、一元函数求导的四则运算法则及复合函数求导法则 37
二、变限函数的导数 38
三、隐函数求导公式 39
四、参数方程求导公式 41
五、一元函数的高阶导数 42
六、一元函数的微分 43
第三节 平面曲线的切线与法线 44
第四节 微分中值定理·泰勒定理 49
一、微分中值定理 49
二、泰勒定理及其应用 56
第五节 函数的单调性·极值·最大、最小值 59
一、有关一元函数的单调性 59
二、利用单调性证明不等式 61
三、一元函数求极值 65
四、求最大、最小值 68
五、最大、最小值在经济学中的应用 69
一、曲线的凹凸性与拐点 73
第六节 函数作图 73
二、渐近线 74
第七节 方程求根 78
第三章 一元函数积分学 81
第一节 不定积分 81
一、不定积分的换元法 81
二、不定积分的分部积分法 84
三、有理分式函数的不定积分 87
第二节 定积分 88
一、定积分的性质 88
二、求定积分表达式 91
三、利用对称性计算定积分 93
四、定积分的换元积分法 94
五、定积分的分部积分法 95
第三节 定积分应用 98
一、求平面图形的面积 98
二、求曲线的弧长 102
三、求已知平行截面空间立体的体积 103
四、求旋转体的体积 103
五、求旋转体的表面积 109
六、定积分的物理应用 110
七、求平均值 112
第四节 广义积分 113
一、无穷限的广义积分 113
二、无界函数的广义积分 115
二、空间解析几何 118
一、向量代数 118
第四章 空间解析几何 118
第五章 多元函数微分学 121
第一节 偏导数的定义及计算 121
一、多元函数求极限 121
二、偏导数的定义 122
三、偏导数的运算法则 122
四、多元函数的二阶偏导数 123
五、多元隐函数求导 126
六、全微分 128
第二节 空间曲线的切线、法平面及空间曲面的切平面、法线 131
第三节 多元函数的极值·最大值、最小值 133
一、多元函数的极值 133
二、多元函数的最大值、最小值 135
三、多元函数极值在经济学上的应用 137
第四节 方向导数与梯度 139
第六章 多元函数积分学 142
第一节 重积分 142
一、重积分的性质 142
二、利用直角坐标计算二重积分 144
三、利用极坐标计算二重积分 147
四、三重积分的计算 153
五、重积分的应用 154
第二节 曲线积分 156
一、对弧长的曲线积分 156
二、对坐标的曲线积分 157
三、曲线积分与路径无关的条件 160
一、对面积的曲面积分 163
第三节 曲面积分 163
二、第二类曲面积分 165
第七章 无穷级数 169
第一节 常数项级数 169
一、正项级数的敛散性 169
二、正项级数求和 172
三、任意项级数的敛散性 173
第二节 幂级数 178
一、求幂级数的收敛半径和收敛区间 178
二、幂级数求和 180
第三节 傅立叶级数 186
一、傅立叶级数 187
一、变量可分离方程 189
第八章 常微分方程 189
第一节 一阶微分方程 189
二、齐次微分方程 193
三、一阶线性微分方程 195
四、伯努利方程 200
五、全微分方程 201
六、其他类型的一阶微分方程 201
第二节 可降阶的高阶微分方程 203
第三节 二阶常系数线性微分方程 206
一、微分方程解的结构 206
二、二阶常系数齐次线性微分方程 207
三、二阶常系数非齐次线性微分方程 208
四、高阶常系数线性微分方程 211
五、欧拉方程 212
第四节 差分方程 213
第二篇 线性代数 215
第一章 行列式 215
第一节 数字型行列式 215
第二节 抽象型行列式 219
第二章 矩阵 223
第一节 矩阵的各种运算 223
一、运算规律 223
二、矩阵的幂运算 224
三、矩阵的初等变换 225
四、有关A＊的计算 227
一、数字型矩阵求逆 229
第二节 矩阵的逆 229
二、逆矩阵定义及抽象矩阵求逆 231
三、求逆综合题 231
四、解矩阵方程 233
第三节 矩阵的秩 236
一、数字型矩阵求秩 237
二、抽象矩阵求秩 237
三、伴随矩阵的秩 239
第三章 向量 241
第一节 向量的线性相关与线性无关 241
一、向量的运算 241
二、向量组的线性相关与线性无关 242
第二节 向量的线性表示 246
第三节 向量组的极大无关组与秩 250
一、向量组的极大无关组 251
二、向量组的秩 252
三、向量组的等价 254
第四节 向量空间 255
第四章 线性方程组 258
第一节 齐次线性方程组 258
一、AX=0有非零解的条件 258
二、AB=0 259
三、齐次线性方程组的基础解系 260
四、求齐次线性方程组的通解 262
第二节 非齐次线性方程组 266
一、非齐次线性方程组有解的条件 267
二、非齐次线性方程组求惟一解 269
三、非齐次线性方程组解的结构 271
四、求非齐次线性方程组的通解 273
第三节 方程组的同解与公共解 279
一、有关齐次线性方程组的同解 279
二、齐次线性方程组的公共解 280
三、非齐次线性方程组的公共解 282
第五章 矩阵的特征值与特征向量 284
第一节 矩阵的特征值与特征向量 284
一、求数值型矩阵的特征值 284
二、求抽象矩阵的特征值 285
三、有关特征向量的讨论 286
四、求特征值、特征向量的综合题 287
一、基本概念题 291
第二节 矩阵的相似对角化 291
二、综合计算题 292
第三节 实对称矩阵的相似对角化 299
第六章 二次型 306
第一节 二次型化为标准形 306
一、基本概念 306
二、二次型化为标准形 307
三、已知二次型化为标准形，反求参数 308
第二节 正定二次型 312
第三篇 概率论与数理统计 316
第一章 随机事件及其概率 316
第一节 随机事件与概率基本公式 316
一、事件的表示及关系 316
三、概率运算性质及基本公式 317
二、古典概率 317
四、全概率公式和贝叶斯公式 318
第二节 事件的独立性 320
第二章 随机变量及其概率分析 324
第三章 多维随机变量及其概率分布 330
第一节 多维离散型随机变量 330
第二节 多维连续型随机变量 334
第四章 随机变量的数字特征 341
第一节 数学期望与方差 341
一、有关重要分布的数字特征的题目 341
二、利用公式及性质求数学期望与方差 342
三、随机变量函数的数学期望与方差 343
四、关于数学期望的应用题 347
第二节 协方差与相关系数 351
第五章 大数定律和中心极限定理 360
一、切比雪夫不等式 360
二、大数定律 361
三、中心极限定理 361
第六章 数理统计的基本概念 363
一、判断抽样分布及确定参数 363
二、求统计量的数字特征 365
三、求样本容量 366
第七章 参数估计 368
一、点估计 368
二、区间估计 373
第八章 假设检验 375