第1章 基本定义 1
1.1 定义和例 1
1.2 光滑函数与光滑映射 6
1.3 子流形和隐函数定理 9
1.4 技术性的问题 14
参考文献 20
第2章 切丛 21
2.1 流形的切丛 21
2.2 内在的描述 25
2.3 切空间的几何意义 28
2.4 球面的切丛 29
参考文献 32
第3章 矢量丛 33
3.1 定义和例 33
3.2 矢量丛上的运算 40
3.3 丛的正合序列、分裂和一的分割 46
3.4 法丛 51
3.5 仿紧性与一的分割 55
第4章 流形上的微分学 58
4.1 方向导数和矢量场 58
4.2 矢量场的几何，积分曲线 61
4.3 括弧运算和Frobenius定理 65
4.4 矢量场的拓扑学 74
4.5 附录 77
参考文献 81
5.1 Lie群的Lie代数 82
第5章 Lie群 82
5.2 局部同构，Sophus Lie的基本定理 89
5.3 指数映射，较深的结果 95
5.4 Lie群上的Taylor级数展开式，更多的应用 100
5.5 解析结构和存在性定理 110
5.6 单连通Lie群 113
参考文献 115
第6章 微分形式 116
6.1 引言 116
6.2 函数的微分与一次微分形式 118
6.3 外代数的概述 123
6.4 高次微分形式 128
6.5 其它问题 139
参考文献 143
第7章 积分 144
7.1 引言 144
7.2 单形 144
7.3 矢量空间中的积分 153
7.4 流形上的积分 162
7.5 应用 169
参考文献 177
第8章 de Rham定理 179
8.1 例和概述 179
8.2 奇异同调和de Rham定理 186
8.3 单纯形同调 190
8.4 de Rham定理的证明 195
8.5 复流形和Dolbeault上同调，一个简短的插曲 200
参考文献 207
9.1 一般的代数知识 208
第9章 同调理论 208
9.2 正合性 217
9.3 同伦，单纯逼近 221
9.4 切除和Mayer-Vietoris序列 228
9.5 应用 241
9.6 CW复形和进一步的计算 246
参考文献 255
第10章 上同调 256
10.1 引言 256
10.2 Pontrjagin对偶性 258
10.3 乘积空间和Künneth公式 261
10.4 “上”积（Cup Product）与“卡”积（Cap Product） 267
10.5 Thom同构定理 274
10.6 Hopf不变量 279
第11章 Poincaré对偶性 285
11.1 引言 285
11.2 基本类 287
11.3 Poincaré对偶定理 294
11.4 Thom-Pontrjagin构造 301
11.5 相交理论 309
第12章 纤维丛通论 314
12.1 引言 314
12.2 具有构造群的纤维丛 316
12.3 主丛 323
12.4 构造群的改变 331
12.5 万有丛和分类空间 335
12.6 覆盖同伦性质 337
12.7 杂记 343
参考文献 346
第13章 示性类 347
13.1 圆群G=S1和对合G=Z2的示性类 348
13.2 酉群U（n）的示性类（陈类）与正交群O（n）的示性类（Stiefel-Whitney类） 354
13.3 计算 365
13.4 其它的讲法 376
13.5 Pontrjagin类 381
13.6 K－群和陈特征标 385
参考文献 389
第14章 表示论通论 390
14.1 引言 390
14.2 一般概念 393
14.3 紧群和不变积分 395
14.4 特征标与权 398
14.5 极大环面与E.Cartan定理 406
14.6 实表示 410
14.7 根与Weyl群 413
14.8 E.Cartan定理 418
14.9 其它评述 421
参考文献 424
第15章 示性类续论 425
15.1 Borel-Hirzebruch格式 425
15.2 齐性空间上的计算 431
15.3 H*（BO(n);Q）和H*（BSO(n);Q）的计算 438
15.4 Pontrjagin数和配边不变性 444
参考文献 450
16.1 流形的指标 451
第16章 Hirzebruch指标定理 451
16.2 配边环的构造 460
16.3 乘法序列 466
16.4 Milnor的怪球 470
参考文献 478
第17章 Laplace方程和Hodge理论 479
17.1 偏微分方程（PDE）概况 479
17.2 调和函数 488
17.3 Laplace-Beltrami算子△ 495
17.4 Hirzebruch指标定理的另一表述 503
17.5 Hodge定理的证明，总的思路 507
17.6 Hodge定理的证明，一个特例 514
17.7 Hodge定理的证明，一般情况 520
17.8 澄清，微分几何概述 523
17.9 复情况 531
第18章 Riemann-Roch定理 534
18.1 亚纯函数 534
18.2 Cech构造和层 542
18.3 层的上同调 549
18.4 Riemann-Roch定理 564
18.5 Riemann-Roch定理的Hirzebruch推广 575
18.6 其它的评述 584
参考文献 590
第19章 Atiyah-Singer指标定理 591
19.1 矢量从上的一般微分算子 591
19.2 椭圆算子的解析指标，Hodge理论 603
19.3 K理论概述 610
19.4 Todd亏数与拓扑指标 623
19.5 Atiyah-Singer指标定理 633
参考文献 636
第20章 曲率和相关问题 637
20.1 曲率 637
20.2 曲面的Gauss-Bonnet定理 647
20.3 曲率和示性类 663
20.4 主丛上的联络 677
20.5 Yang-Mills泛函 698
参考文献 708