第一章 方程的导出及定解问题的提法 1
§1 基本概念 1
1.1 什么是偏微分方程 1
1.2 偏微分方程的解 1
目录 1
1.3 偏微分方程的阶 2
1.4 线性偏微分方程 2
1.5 非线性偏微分方程 3
习题1-1 3
§2 几个经典方程 4
2.1 弦振动方程 4
2.2 膜振动方程 6
2.3 热传导方程 8
2.4 拉普拉斯（Laplace）方程 9
§3 定解问题 10
3.1 定解问题 10
习题1-2 10
3.2 三类典型的边界条件 11
3.3 适定性 12
习题1-3 13
第二章 一阶偏微分方程 14
§1 基本概念 14
1.1 积分曲面 14
1.2 特征线与全特征线 15
2.1 通解的结构 17
习题2-1 17
§2 线性齐次偏微分方程 17
2.2 初值问题 21
习题2-2 23
§3 拟线性偏微分方程 24
3.1 通解的结构 24
3.2 初值问题 27
习题2-3 31
§4 完全非线性偏微分方程 32
习题2-4 38
第三章 特征理论与方程的分类 39
§1 二阶方程的特征 39
1.1 两个自变量的情形 39
1.2 多个自变量的情形 41
习题3-1 43
§2 二阶方程的分类 44
2.1 两个自变量的情形 44
2.2 多个自变量的情形 49
习题3-2 52
§3 一阶方程组的特征及分类 53
3.1 两个自变量的情形 53
3.2 多个自变量的情形 55
习题3-3 57
§1 Duhamel原理 58
1.1 Cauchy问题 58
第四章 双曲型方程 58
1.2 混合问题 61
习题4-1 62
§2 一维波动方程 63
2.1 齐次波动方程的Cauchy问题和特征线法 63
2.2 D'Alembe rt公式的物理意义 67
2.3 D'Alembert公式的几何解释 68
2.4 依赖区域、决定区域和影响区域 68
2.5 齐次波动方程的混合问题 70
2.6 非齐次波动方程的Cauchy问题 77
习题4-2 80
§3 高维波动方程 82
3.1 三维齐次波动方程的Cauchy问题 82
3.2 二维波动方程与降维法 86
3.3 依赖区域、决定区域和影响区域 88
3.4 波的传播速度 90
3.5 Poisson公式的物理意义 90
3.6 非齐次波动方程的Cauchy问题 92
习题4-3 94
§4 分离变量法 96
4.1 齐次波动方程的混合问题 96
4.2 非齐次波动方程的混合问题 101
4.3 一般的特征值问题 102
4.4 二维波动方程的混合问题 107
4.5 物理意义，驻波法 109
习题4-4 110
§5 能量积分、惟一性和稳定性 112
5.1 能量积分 112
5.2 混合问题解的惟一性 114
5.3 能量不等式 115
5.4 Cauchy问题解的惟一性和稳定性 119
习题4-5 122
第五章 抛物型方程 124
§1 热传导方程的Cauchy问题 124
1.1 齐次方程 124
1.2 非齐次方程 128
习题5-1 129
§2 热传导方程的混合问题 130
2.1 半直线上的热传导方程与热的反射 130
2.2 有限区间上的热传导方程与分离变量法 132
习题5-2 137
§3 极值原理、最大模估计、惟一性和稳定性 139
3.1 弱极值原理 139
3.2 第一边值问题解的最大模估计、惟一性与稳定性 142
3.3 第二、三边值问题解的最大模估计 144
3.4 Cauchy问题解的最大模估计 147
3.5 边值问题的能量估计 150
习题5-3 151
第六章 椭圆型方程 154
§1 调和函数 154
1.1 Green公式 154
1.2 调和函数与基本解 155
1.3 调和函数的基本性质 157
习题6-1 160
§2 Green函数 161
2.1 Green函数的定义 161
2.2 Green函数的几个重要性质 163
习题6-2 166
§3 球上的Dirichlet问题 167
3.1 Poisson公式 167
3.2 解的存在性 169
3.3 哈那克（Harnack）不等式及其应用 171
习题6-3 172
§4 极值原理、惟一性与稳定性 173
4.1 极值原理 173
4.2 第一边值问题解的惟一性和稳定性 176
4.3 第二边值问题解的惟一性 178
习题6-4 180
§5 分离变量法 181
习题6-5 185
1.1 Fourier变换 187
第七章 Fourier变换及其应用 187
§1 Fourier变换及其性质 187
1.2 基本性质 188
1.3 几个例子 191
1.4 高维空间的Fourier变换 192
习题7-1 193
§2 应用 194
习题7-2 196
第八章 Cauchy-Kovalevskaya定理和Lewy的反例 198
§1 Cauchy-Kovalevskaya定理 198
1.1 多重指标 198
1.2 实解析函数与强函数 199
1.3 Cauchy-Kovalevskaya定理 200
习题8-1 204
§2 Lcwy的反例 205
习题8-2 207
主要参考文献 208