第一章 数学分析中体现的数学思想 1
一、函数的思想 1
1.函数概念的产生与发展 1
2.函数概念的本质 5
3.函数思想在数学分析中的应用 7
二、极限的思想 12
1.极限思想的产生与发展 13
2.极限思想的思维功能 16
3.建立概念的极限思想 17
4.解决问题的极限思想 18
三、连续的思想 19
1.连续思想的产生和发展 19
2.连续思想的解释 20
3.连续思想的应用 22
四、导数的思想 27
1.导数概念的引入 27
2.导数的定义 30
3.导数定义的理解 31
4.导数思想的应用 31
五、微分的思想 37
1.微分思想的产生和发展 37
2.微分思想的解释 38
3.导数与微分的联系与区别 39
4.微分思想的应用 40
六、积分的思想 41
1.积分思想的产生与发展 41
2.积分思想的理解 41
3.积分思想中的辩证法 44
4.不定积分与定积分的比较 45
5.定积分的应用 48
七、级数的思想 49
1.级数理论的意义 49
2.数列与数项级数的关系 50
3.函数项级数一致收敛的作用 51
4.傅立叶级数研究的基本问题 52
5.级数理论的应用 53
第二章 数学分析中蕴含的哲学思想 56
一、直与曲的思想 56
1.近似计算中的直与曲 57
2.利用积分解决实际问题中的直与曲 57
二、常量与变量的思想 61
1.常量与变量的相对性 61
2.通过常量来刻画变量 62
3.通过变量来研究常量 63
三、有限与无限的思想 64
1.有限与无限的质的差异 64
2.有限与无限的联系与转化 66
3.阿基里斯悖论中的有限与无限 68
4.《庄子》中的有限与无限 70
5.数列极限“ε-N”定义中的有限与无限 71
6.几个等式中的有限与无限 73
四、局部与整体的思想 73
1.微元法中的局部与整体 73
2.闭区间套定理应用中的局部与整体 74
3.有限覆盖定理应用中的局部与整体 76
4.闭区间上连续函数性质中的局部与整体 78
5.函数项级数和函数分析性质中的局部与整体 80
五、近似与精确的思想 81
1.概念建立中的近似与精确 81
2.微元法中的近似与精确 84
六、特殊与一般的思想 86
1.一般与特殊举例 86
2.解题中的特殊与一般 87
3.概念建立中的特殊与一般 90
4.概念和定理获得中的特殊与一般 90
七、连续与不连续的思想 91
1.解题中连续与离散的转化 91
2.理论中连续与离散的对应 92
3.内容中连续与间断的转化 96
八、对立与统一的思想 96
1.概念定义中的对立与统一 98
2.解题过程中的对立与统一 99
九、量变与质变的思想 100
1.解题中的量变与质变 100
2.推广中的量变与质变 101
十、否定与肯定的思想 101
1.概念形成中的否定与肯定 102
2.解题过程中的否定与肯定 104
第三章 数学分析中常用的数学思想 107
一、类比的思想 107
1.运用类比揭示概念 108
2.运用类比引出命题 109
3.运用类比解决问题 110
二、变换的思想 115
1.恒等变换 116
2.映射变换 118
3.参数变换 120
4.离散—连续变换 122
三、构造的思想 123
1.构造函数 123
2.构造数列(级数) 132
3.构造结论 134
4.构造不等式 135
5.构造图形 138
6.构造反例 138
四、递推的思想 138
1.极限运算中的递推 138
2.求导运算中的递推 140
3.积分运算中的递推 141
4.级数理论中的递推 143
五、猜想的思想 145
1.由归纳产生猜想 146
2.由直观产生猜想 149
3.由类比产生猜想 150
六、反例的思想 153
1.数学分析中反例的作用 153
2.数学分析中反例的构造 158
七、不动点的思想 161
1.连续函数的不动点问题 161
2.单调函数的不动点问题 163
3.递推数列的不动点问题 166
八、化归转化的思想 169
1.概念建立中的化归转化 169
2.内容处理上的化归转换 171
3.解题策略上的化归转化 177
九、以退求进的思想 186
1.概念建立中的以退求进 187
2.解题过程中的以退求进 189
十、分段处理的思想 192
1.分段函数性质讨论的分段处理 192
2.复杂和式、乘积式的分段处理 199
3.函数分析性质讨论中的分段处理 200
4.积分等式证明的分段处理 202
5.中值定理应用中的分段处理 204
十一、数形结合的思想 207
1.通过数形结合掌握概念 207
2.通过数形结合理解与证明性质 214
3.通过数形结合解决问题 225
十二、分类讨论的思想 229
1.极限问题中的分类思想 229
2.连续性问题中的分类讨论 232
3.可积性问题中的分类讨论 232
4.级数敛散性问题中的分类讨论 235
十三、特殊化与一般化的思想 237
1.由特殊到一般建立概念 239
2.由特殊到一般发展理论 239
3.由特殊到一般推厂结论 239
4.先特殊后一般，由特殊推一般 240
5.先一般后特殊，由一般求特殊 247
第四章 数学美与数学分析中的美学思想 252
一、数学美 252
1.有关数学美的一些论述 252
2.数学美的本质与特征 253
3.数学美与数学创造 254
4.数学美的基本内容 255
二、数学分析中的美学思想 261
1.统一美 261
2.对称美 263
3.奇异美 267
4.简洁美 270
5.符号美 272
6.形式美 272
7.抽象美 274
8.实用美 275
第五章 微积分创立过程中数学家的思想和方法 279
一、微积分孕育时期数学家的思想方法 280
1.德谟克利特的数学原子论思想 280
2.欧多克斯的穷竭法 281
3.刘徽的割圆术 281
4.祖暅原理 282
5.阿基米德的求积方法 283
二、微积分创立时期数学家的思想方法 284
1.开普勒的同维无穷小方法 285
2.伽利略的运动观点 286
3.卡瓦列利的不可分量法 287
4.瓦里斯和巴斯卡的分析方法 288
5.费马的“分割求和”方法 288
6.费马的求切线方法 289
7.费马的求极值方法 289
8.巴罗的求切线方法 290
9.牛顿建立微积分的思想方法 290
10.莱布尼兹建立微积分的思想方法 293
三、微积分发展与完善时期数学家的思想方法 295
1.欧拉对微积分内容的扩展方法 296
2.波尔查诺的严格论证方法 300
3.柯西的极限理论与方法 301
4.魏尔斯特拉斯的分析算术化方法 303
5.戴德金的实数理论方法 304
附录：古代数学家解题思想举例 308
主要参考文献 321