第一章 预备知识——实数集与函数 1
1 集合与实数系 1
一、集合 1
二、区间与邻域 2
三、实数及其性质 3
四、一点逻辑知识 4
习题1-1 6
2 绝对值和不等式 7
一、绝对值 7
二、均值不等式和伯努利不等式 8
习题1-2 9
3 有界数集与确界原理 10
一、有界集 10
二、确界原理 11
习题1-3 13
4 函数概念 14
一、映射和函数 14
二、函数的表示法 15
三、函数的四则运算 17
四、复合函数 18
五、反函数 19
六、初等函数 20
习题1-4 20
5 具有某种特性的函数 21
一、有界函数 21
二、单调函数 22
三、奇函数和偶函数 23
四、周期函数 23
习题1-5 24
第二章 极限论 25
1 数列极限的概念 25
一、数列 25
二、数列收敛的定义 27
习题2-1 30
2 收敛数列的性质 31
一、收敛数列的基本性质 31
二、收敛数列的四则运算性质 33
三、子数列 35
习题2-2 35
3 数列收敛的判别准则 36
一、夹逼准则 36
二、单调有界准则 38
三、柯西收敛准则 41
习题2-3 43
4 函数极限概念 44
一、当x→∞时函数的极限 44
二、当x→x0时函数的极限 47
三、单侧极限 50
习题2-4 51
5 函数极限的性质 52
一、函数极限的基本性质 52
二、函数极限的四则运算性质 54
三、复合函数的极限 55
习题2-5 56
6 函数极限存在的条件 57
一、夹逼准则 57
二、海涅定理及柯西收敛准则 58
三、函数的单调有界定理 61
四、两个重要极限 61
习题2-6 63
7 无穷小量与无穷大量 64
一、无穷小量 64
二、无穷小量阶的比较 65
三、无穷大量 68
习题2-7 69
第三章 函数的连续性 71
1 连续函数的概念 71
一、函数在一点的连续性 71
二、间断点及其分类 75
习题3-1 77
2 连续函数的性质 78
一、连续函数的局部性质 78
二、闭区间上连续函数的性质 79
三、反函数的连续性 82
四、初等函数的连续性 83
五、一致连续 84
习题3-2 88
第四章 导数和微分 90
1 导数的概念 90
一、引例 90
二、导数的定义 92
三、导函数 96
四、导数的几何意义 97
习题4-1 98
2 求导的基本法则 100
一、导数的四则运算法则 100
二、反函数的导数 102
三、复合函数的导数 103
四、基本初等函数的求导公式列表 105
习题4-2 106
3 高阶导数 107
一、高阶导数的概念 107
二、两个高阶求导法则 109
习题4-3 110
4 隐函数求导法、由参数方程确定的函数的导数 111
一、隐函数求导法 111
二、由参数方程确定的函数的导数 114
三、由参数方程确定的函数的高阶导数 115
习题4-4 116
5 微分 117
一、微分的概念 117
二、微分的运算法则 119
三、高阶微分简介 121
四、函数的线性近似 122
习题4-5 124
第五章 微分中值定理及其应用 126
1 微分中值定理 126
一、函数的极值和费马定理 126
二、罗尔定理 128
三、拉格朗日中值定理 131
四、柯西中值定理 135
习题5-1 137
2 不定式极限 138
一、0/0型不定式极限 138
二、∞/∞型不定式极限 140
三、其他类型的不定式极限 141
习题5-2 143
3 泰勒公式 144
一、带有各种余项的泰勒公式 145
二、几个常用的麦克劳林公式 148
三、泰勒公式的某些应用 151
习题5-3 153
4 函数的单调性、极值与最值 154
一、单调性的判别法 154
二、函数极值的判别法 155
三、最大值与最小值问题 159
习题5-4 161
5 函数的凸性与拐点 162
一、函数的凸（凹）性 162
二、函数凹凸性的一般定义及应用 165
习题5-5 169
6 函数作图 170
一、曲线的渐近线 170
二、函数作图 171
习题5-6 173
第六章 一元函数积分学 174
1 定积分概念 174
一、问题提出 174
二、定积分的定义 178
习题6-1 180
2 可积准则与可积函数类 定积分的基本性质 181
一、可积的必要条件 181
二、可积函数类 182
三、定积分的基本性质 182
四、积分中值定理 185
五、可积的充要条件 186
六、可积函数类的定理补充证明 191
七、定积分的性质补充证明 194
习题6-2 196
3 牛顿-莱布尼茨公式 198
习题6-3 201
4 不定积分概念与基本积分公式 202
一、原函数与不定积分的概念 202
二、变限积分函数与原函数的存在性 202
三、基本积分表 207
四、线性运算 208
习题6-4 210
5 换元积分法 211
一、不定积分的第一换元积分法（凑微分法） 211
二、不定积分的第二换元积分法 214
三、定积分的换元积分法 217
习题6-5 219
6 分部积分法 221
一、不定积分的分部积分法 221
二、定积分的分部积分法 223
习题6-6 225
7 有理函数和可化为有理函数的积分 227
一、有理函数的不定积分 227
二、三角有理函数的不定积分 231
三、某些无理根式的不定积分 232
习题6-7 234
第七章 定积分的应用 236
1 平面图形的面积 236
一、定积分的“微元法” 236
二、平面图形面积的一般公式 237
三、平面图形面积的极坐标公式 240
习题7-1 242
2 由平行截面面积求体积 243
一、由截面面积函数求体积 243
二、旋转体的体积 245
习题7-2 247
3 平面曲线的弧长与旋转曲面的面积 248
一、平面曲线的弧长 248
二、旋转体的侧面积 252
习题7-3 255
4 定积分在物理学中的一些应用 255
一、平面曲线的质心 255
二、液体静压力 257
三、引力 258
四、功与平均功率 259
习题7-4 262
5 定积分的近似计算 263
一、矩形公式 263
二、梯形公式 265
三、辛普森公式 266
四、误差估计定理 268
第八章 反常积分 269
1 反常积分的概念 269
一、问题的提出 269
二、两类反常积分的定义 271
习题8-1 274
2 反常积分的性质与收敛判别准则 275
一、无穷积分的性质 275
二、比较判别法 277
三、狄利克雷判别法与阿贝尔判别法 280
习题8-2 282
3 瑕积分的性质与收敛判别 283
习题8-3 286
第九章 实数的完备性 287
1 关于实数集完备性的基本定理 287
一、区间套定理 288
二、聚点定理与致密性定理 288
三、柯西收敛准则 290
四、有限覆盖定理 292
习题9-1 294
2 闭区间上连续函数的性质 295
一、连续函数的基本性质的证明 295
二、用实数完备性定理证明问题的基本思路与技巧 297
习题9-2 299
习题答案 300
参考文献 317