上篇 实变函数论 2
第一章 集合论初步，RN的点集 2
1.1 集合、关系与映射 2
1.1.1 集的概念 2
1.1.2 集的并与交运算 4
1.1.3 集合的乘积，关系与映射 7
1.1.4 次序，Zorn(曹恩)引理和选择公理 11
1.2 集合的基数 15
1.2.1 集合的基数的概念 16
1.2.2 Bernstein定理 17
1.3 可数集与不可数集 20
1.3.1 可数集 20
1.3.2 不可数集 23
1.4 N维欧氏空间的基本概念 28
1.4.1 RN上的距离 28
1.4.2 内点与内部，开集与闭集 29
1.4.3 聚点、闭包与导集 30
1.4.4 子空间 32
1.5 R1上开集的构造 35
1.5.1 开集构造定理 35
1.5.2 Cantor(康托)完全集 36
1.6 数值、数列与函数 40
1.6.1 数值的运算规则 40
1.6.2 数值列的极限 40
1.6.3 格运算(取大算子“∨”和取小算子“∧”) 42
1.6.4 上、下极限 43
1.6.5 函数的连续性与单调性 44
插页1：数学创新-数学思想方法-数学教育 48
第二章 区间与矩形上的L-积分 49
2.1 特征函数与阶梯函数 49
2.1.1 特征函数 49
2.1.2 阶梯函数 51
2.1.3 阶梯函数的积分 55
2.2 零集、阶梯函数单调列的基本引理 58
2.2.1 零集 59
2.2.2 阶梯函数的单调列的两个基本引理 62
2.3 L-可积的基本函数及其L-积分 65
2.3.1 BL类函数及其积分 67
2.3.2 BL类函数的运算 70
2.4 可测函数与可积函数的积分 74
2.4.1 L类函数 74
2.4.2 L-积分的一般性质 75
2.4.3 L-积分的三大极限定理 79
2.4.4 一般可测函数与L-可积函数 87
2.5 L-积分与R-积分比较 92
2.5.1 可积函数类比较 92
2.5.2 逐项积分的条件比较 95
2.5.3 微积分基本公式比较 96
2.5.4 进一步的比较 96
2.6.1 二元阶梯函数 98
2.6 二维积分与Fubini定理 98
2.6.2 零集 99
2.6.3 有界矩形Ω上的L-类函数及其积分 100
2.6.4 截口及其性质 102
2.6.5 Fubini定理 106
插页2：谈用化归法解题 112
3.1 ［a，b］上的L-可测集与L-测度 113
3.1.1 L-可测集及其L-测度 113
第三章 测度与可测集上的积分 113
3.1.2 可测函数与可测集的关系 117
3.1.3 可测集的结构 119
3.2 一般可测集上的Lebesgue积分 125
3.2.1 (-∞，+∞)上的可积函数及其积分 125
3.2.2 (-∞，+∞)上的一般可测集及其测度 130
3.2.3 一般可测集上的可测函数与可积函数 132
3.3 可积函数与可测函数的连续逼近 138
3.3.1 可积函数的连续逼近与积分的绝对连续性 138
3.3.2 可测函数的连续逼近——Egoroff定理与Lusin定理 141
3.4 依测度收敛 149
3.4.1 依测度收敛与几乎处处收敛的关系 150
3.4.2 依测度收敛的性质 152
3.5 L-积分理论的两种版本之比较 156
3.5.1 两种版本推演程序的差异 156
3.5.2 两种版本概念的一致性 157
3.5.3 两种版本各有优势 159
3.6 不可测集的例子、一般的测度与积分 163
3.6.1 Lebesgue不可测集的存在性 163
3.6.2 测度与积分的一般理论简介 165
插页3：谈数学的作用和它的应用 176
第四章 微分与不定积分 177
4.1 单调函数与有界变差函数 177
4.1.1 单调函数 177
4.1.2 有界变差函数 179
4.2.1 不定积分 185
4.2 不定积分与绝对连续函数 185
4.2.2 绝对连续函数 188
4.3 关于单调函数性质的补充与附注 195
4.3.1 单调函数导数存在性的证明 195
4.3.2 导数a.e.为0的单调连续函数 200
4.3.3 关于一般单调函数 200
插页4：谈数学美和它的作用 205
5.1 距离空间的基本概念及例子 207
第五章 距离空间 207
下篇 泛函分析初步 207
5.2 距离空间中的收敛与连续映射 209
5.3 距离空间的可分性 210
5.4 完备距离空间与距离空间的完备化 211
5.5 不动点定理 213
5.6 距离空间的紧致性 215
第六章 线性赋范空间与有界线性算子 218
6.1 线性赋范空间的基本概念及例子 218
6.2 有界线性算子 223
6.3 线性算子空间与共轭空间 225
6.3.1 线性有界算子空间 225
6.3.2 共轭空间 225
第七章 线性赋范空间的基本定理 228
7.1 泛函延拓定理 228
7.2 线性算子的基本定理 231
7.2.1 逆算子定理 231
7.2.2 闭图像定理 232
7.2.3 共呜定理(一致有界性定理) 233
7.3 自反空间与共轭算子 235
7.3.1 二次共轭空间与自反空间 235
7.3.2 共轭算子 235
7.4 强收敛、弱收敛与弱收敛 237
7.4.1 算子列的一致收敛、强收敛、弱收敛 237
7.4.2 泛函列的弱收敛 238
7.4.3 X中点列的弱收敛 238
8.1 内积空间的概念 241
第八章 内积空间与Hilbert空间 241
8.2 内积空间的正交性质 244
8.2.1 正交与正交分解定理 244
8.2.2 标准正交系与完全标准正交系 245
8.2.3 Fourier级数展开 246
8.3 Hilbert空间的同构性 249
8.3.1 Hilbert空间的同构性 249
8.3.2 Riesz表示定理与共轭同构 249
8.4 Hilbert空间上的有界算子 251
8.4.1 Hilbert共轭算子 251
8.4.2 自共轭算子 251
参考文献 253
附录1 集合论在争论中建立和发展 255
附录2 Lebesgue积分的产生与发展 260
附录3 泛函分析的产生与发展 263
附录4 数学家简介 266
附录5 本书上篇采用的记号与约定 277