目录 622
（下册） 622
第四篇 现代数学和科学思潮评介 622
第一章 现代数学的鸟瞰 622
一、现代的“数学科学” 623
二、纯粹数学与应用数学 625
三、计算机科学、离散数学 628
四、数学、物理理论的统一 629
五、数学的统一 631
第二章 模糊数学评介 633
第一节 模糊数学的提出 634
一、集合的特征函数、函数的图 634
二、模糊集、程度函数 635
三、观念和方法的重大变革 637
第二节 基本内容、方法和应用 638
一、模糊集的距离、模糊度（熵） 638
二、分解定理及其方法论意义 639
三、模糊数 640
四、模糊点 642
五、模糊函数和扩张原理 643
六、乘积模糊集、模糊关系、模糊图、模糊矩阵 644
七、模糊集的推广：L模糊集、高阶模糊集 647
八、概率性、模糊性、可能性及其在认识论上的意义 649
九、应用举例——“他山之石，可以攻玉” 654
第二节 理论基础和哲学分析 655
一、模糊性的客观性与主观性问题 655
二、隶属度与落影空间 657
三、模糊数学的基础问题 659
第三章 非标准分析及其在认识论上的意义 662
第二节 计算机发展概况 663
第一节 非标准分析的提出与现状 663
第二节 基本概念和方法 665
一、数学结构和形式语言 665
二、紧致性定理、分析的非标准模型＊R 667
三、＊R的单子结构 669
四、＊R中数的种类，单子显微镜 670
五、关于？＝1 672
六、微分、连续、积分 673
七、微分三角形；（sinθ）′＝cosθ之证明 674
第三节 应用和意义 676
一、δ——函数与无穷小分析 676
二、在数学物理中的若干应用 677
三、非标准实数域的一个实现 680
四、非标准数学的方法论意义 682
附：微积分与辩证法——试论非标准分析和《数学手稿》的关系及其在认识论上的启发 684
一、无穷小的演变 685
二、《数学手稿》、标准分析、非标准分析的关系 688
三、数学的量子化——＊R的单子结构 691
四、非标准数学理论在方法论上的启发 695
第四章 突变理论 707
第一节 系统稳定性与拉普拉斯决定论 708
第二节 突变模型的分类 710
一、折叠曲面和吸引子 710
二、芽空间与稳定奇点 711
三、分类定理 713
第三节 应用 714
第四节 突变理论的数学基础 716
第五节 突变理论与量变和质变 721
一、连续和离散 721
二、质变的方式 723
三、决定质变方式的条件与“矫枉过正” 724
第五章 泛系理论评介 727
第一节 泛系理论的前身——逼进转化论 729
第二节 泛系理论的基本概念、形成和进展 730
第三节 泛系理论与数学的关系 733
第四节 泛系理论与泛系科学观的应用——电磁介质动力学、强度理论和场论 736
三、泛系方法论与哲学 741
第五节 开发运筹的泛系十法 742
第六节 泛系方法论的现代背景与传统渊源 746
二、“四古源” 747
第七节 认识论、方法论诸范畴数学化问题 752
一、辩证逻辑与形式化 752
二、异同观——等价与半等价类 755
三、否定之否定——泛系重演律、泛系全息律 757
四、对立统一——科学的起点、过程和现实 758
第六章 悖论及其科学意义 762
第一节 悖论的意义、起源和现状 762
第二节 常见的一些悖论 765
一、布拉利—福尔蒂悖论 766
二、康托尔最大基数（势）悖论 766
三、罗素悖论 767
四、理查德悖论 767
五、格雷林悖论 767
六、说谎者悖论 768
七、理发师悖论与理发师定理 770
八、斯各伦悖论 772
九、贡塞斯悖论 773
十、基础集合悖论 775
十一、选举悖论 777
十二、“独裁者”悖论 778
十三、对角线悖论 781
十四、“整体性悖论”与现代系统论 782
十五、其他悖论 783
第三节 悖论与数学、物理的发展 787
一、悖论与数学“危机” 787
二、科学革命与悖论，热情与追求 789
三、“悖论逃逸”与物理学革命 792
一、现代科学背景 796
四、“互补原理”、“概念重建”及爱因斯坦—波尔的科学论战的意义 796
第四节 “白痴的问题”——宇宙论及其佯谬 804
一、牛顿理论与无限宇宙模型的矛盾——宇宙学佯谬 804
二、热力学佯谬与耗散理论 807
三、静态有限无边的宇宙模型 814
四、宇宙膨胀与爱因斯坦“一生中最大的错事” 814
五、哈勃宇宙与大爆炸理论及其认识论、方法论意义 815
六、大数假说、人择原理——数和宇宙的和谐 819
第五节 悖论性质的探求 825
一、悖论的分类及其关系 825
二、悖论的性质、成因 826
第六节 出路何在？ 831
一、罗素的分支类型论 831
一、历史上的计算器 833
二、塔尔斯基的语言层次 834
四、“逻辑悖论”与“悖论逻辑” 841
五、悖论与禅宗 844
第七章 哥德尔理论 846
一、形式算术系统（TNT系统） 847
第一节 基本内容和方法 847
二、哥德尔不完全性定理 849
三、递归种种和哥德尔理论 850
四、哥德尔数、系统的自我相关、自我认识 856
第二节 最大的缺感，最高的光荣 859
一、现实、思维、符号与同构 859
二、康托尔对角线方法与无法弥补的漏洞 860
三、自我复制、自我超脱 864
一、思维层次的缠绕——无限的循环 866
第三节 “绝对的追求” 866
二、整体与个体——思维过程中的无穷摆动 868
三、逻辑学史上的两座丰碑 869
第八章 人工智能与思维科学 871
第一节 人·机器·计算 873
一、从“动物是机器”到控制论 873
二、从“人是机器”到“机器是人” 875
三、公理集合论、ZFC系统 876
三、图灵机与可计算性 879
二、电子计算机的出现和发展 884
三、计算机科学的出现 886
第三节 大脑、机器和智能 888
一、智能的图灵准则 888
二、思维层次与机器的语言层次 891
三、脑模型种种 892
第四节 “人——机对话”与数理语言学 896
一、语言学与计算机 896
二、数理语言学发展的几个阶段 897
三、“人——机对话”及其发展 899
四、下棋机器人——计算与启发 901
五、计算和算法中的随机性、自我相关性 903
第五节 四色问题与机器证明 906
一、简单而困难的问题 906
二、可约构形和不可避免组 907
三、“放电过程”与计算机的使用 909
四、阿佩尔、黑肯的突破 910
五、机器证明四色问题的意义 911
六、裂缝定理与例证法——洪加威理论 912
第六节 智能机和思维科学 914
一、日本的“计算机武士”们的挑战 914
二、非诺依曼结构与数据流方法 916
三、专家系统与知识工程 917
四、计算理论、拓扑性质与形象思维 921
五、思维科学和智能革命 924
附录：数学教育的美育价值 927
一、科学、艺术与美学 927
二、数学、音乐和美学 930
三、数学的美育价值，数学审美能力的培养 933
外国数学家译名对照表 942
主要参考书目 959
后记 964