第一编 数量 1
第一章 数系及其运算 1
第一节 自然数 1
一、基础命题 单位和自然数——算术基本定理——Peano公理 1
二、素数 素数个数无限——从自然数判别素数的方法——表示素数的公式——素数在自然数中的分布——素数分布的某些猜想——对自然数具有某种性质的猜想 5
三、完美数 简史——完美数表——研究工作记事——完美数性质 29
四、相亲数 简史——相亲数链——倒数和的倒数和 36
五、Fermat数 简史——是合数的Fn表——Fermat小定理、Fermat大定理与Fermat数——两个其他的问题 43
六、Mersenne数 简史——研究工作记事——检测轶闻——找寻最大素数的意义——Mersenne数猜想——Mersenne Mn=2n-1数表 49
第二节 分数 58
一、普通分数 分数记法——分数基本性质——约分与最大公约数——通分与最小公倍数——分数的四则运算 58
二、单位分数 简史——单位分数构造法——化单位1为单位分数和——真分数与单位分数——《莱因得纸草》第4题 68
三、循环小数 七个命题——例题举隅——Gauss的素数倒数表 80
四、连分数 a/b化为连分数——？化为连分数（c为非完全平方自然数）——连分数与渐近分数——超越数与连分数 85
五、Farey分数数列 简史——Farey数列的性质 94
第三节 负数 96
一、三家之言 96
二、正负术 97
三、外国对负数概念引入轶事——Diophantus——Brahmagup-ta——al-Khowarizmi——Fibonacci——西方对负数的排斥意见——西方对负数概念的建树 99
第四节 无理数 102
一、古希腊的无理数观 102
二、东方人的无理数观 中国——印度 104
三、无理数研究记事 107
四、代数数与超越数 108
第五节 虚数 111
一、虚数概念的萌芽状态 111
二、16世纪后的工作 111
第二章 算术问题及其解法 115
概说 115
一、单假设法 119
二、归一算法 122
三、双假设法 124
四、还原法 131
五、比例算法 133
第一节 四则运算 140
第二节 定和问题 145
一、一元问题 146
二、二元问题 149
三、三元问题 155
四、四元（及以上）问题 157
第三节 余数问题 159
一、一关问题 159
二、二关问题 159
三、三关问题 161
四、四关（及以上）问题 163
第四节 盈亏问题 170
第五节 互给问题 172
一、二人问题 172
二、三人问题 175
三、四人（及以上）问题 177
第六节 合作问题 179
一、几人合作一事 179
二、一人经营几事 183
三、第三类型 184
第七节 行程问题 190
一、等速直线运动 190
二、变速直线运动 196
三、圆周运动 203
第八节 比例问题 205
一、正比例 206
二、反比例 209
三、连比例 212
四、复比例 216
五、分配比例 220
第九节 数列问题 230
一、分配比例（续） 230
二、等差数列 239
三、等比数列 244
第三章 代数问题及其解法 250
概说 250
第一节 适定方程 257
一、求根公式 一次方程——二次方程——三次方程——四次方程——五次（及五次以上）方程——二项方程 257
二、数值解方程 北宋贾宪——南宋秦九韶——中世纪中亚与西欧——日本——19世纪欧洲 278
三、线性方程组解法 特殊形式——一般形式——行列式 286
四、多项式理论 代数基本定理——根与系数的关系——因式定理——方程变换——符号法则——方程的不可约性质 300
第二节 不定方程——一次问题 307
一、凑答数、消去法 齐次不定方程组——一般不定方程组 308
二、二元不定问题 库塔卡（解二元一次不定方程ax-by=c）——大衍求一术（解一次同余式ax？c（mod b）） 313
三、多元不定问题 中国剩余定理——秦九韶大衍总数术——Gauss《算术探讨》 322
第三节 不定方程——二次问题 350
一、勾股数公式 埃及——巴比伦——希腊——中国——印度 350
二、三元（及以上）不定问题 357
三、Pell方程 简史——印度数学家的功勋——太阳神牧牛——梅峰寺的传说 359
四、队列变形 方队与正三角形队——方队与正六角形队——正六角形与正三角形队——方变锐阵 370
第四节 不定方程——高次问题 380
一、Waring问题 380
二、Fermat大定理 简史——研究工作记事 381
第二编 图形 387
第四章 平面图形 387
概说 387
一、出入相补原理 出入相补原理与面积的现代定义——面积相等与分割相等 388
二、尺规作图适用的范围 问题的提出——尺规作图的能与不能——例题举隅——生锈（不能开合）的圆规 392
第一节 点、直线与角 398
一、点 398
二、线段 黄金分割——积幂等式——Euler定理 398
三、直线 404
四、角 三等分一角——用尺规以外工具的作法——无限等分——可以用尺规三等分的角——近似作法 406
第二节 特殊三角形 416
一、等腰三角形 Steiner-Lehmer定理——简史——证法 416
二、正三角形 Viviani定理——与外接圆关系——与内切圆关系——两个正三角形间关系——三个正三角形间关系——极值 422
三、垂足三角形 三角形垂线平分垂足三角形内角——三角形边平分垂足三角形外角——周长——面积——外接圆——内切圆——旁切圆 429
四、直角三角形 勾股定理——简史——历史名证——勾股定理的推广 433
五、Heron三角形 构造法——性质——《数理精蕴》——特例 447
第三节 一般三角形 453
一、三角形内的点 五心——Brocard点——形内任一点 453
二、三角形与直线 共点线与共线点——顶点到对边上一点连线长——三角形内一点到重心的距离——中线、高及角平分线的长度 461
三、三角形与三角形 与正三角形有关的命题——透视变换——相似三角形——天体测量——地面测量 468
四、三角形与圆 双圆三角形——三角形内互切三圆——九点圆——九点圆与内切圆、旁切圆相切 493
五、三角形、圆与直线 Simson线 514
六、三角形面积 埃及——中国和希腊——东方其他国家——三角形内的直线形面积 520
第四节 特殊四边形 531
一、正方形（长方形） 531
二、梯形（菱形、筝形） 537
三、平行四边形 542
第五节 一般四边形 543
一、不外切于圆也不内接于圆 Newton的工作——Varignon的工作——八点圆——作图题——面积 543
二、内接于圆 Euclid《原本》——Ptolemy的工作——Brahmagupta的工作——Regiomontanus的工作——四线共点 555
三、外切于圆 Newton的工作 563
四、双圆四边形 Fuss的工作 564
第六节 六边形 570
一、内接于圆 Pascal定理——简史 570
二、外切于圆 Brianchon定理 574
第七节 正多边形（等分圆周） 577
一、正方形、正五边形、正六边形及其派生正多边形 正方形——正六边形——正五边形——正五边形近似作法——正十五边形——正3×2k,4×2k,5×2k,15×2k边形——竞赛题举隅 578
二、正七边形与正九边形——七（九）等分圆周是尺规作图不能问题——用尺规以外的工具——近似作法——竞赛题一则 586
三、正十七边形、正257与正65 537边形 z3-1=0和z5-1=0——z7-1=0和z9-1=0——z17-1=0——Serret作图法——正257边形和正65 537边形 597
四、正n边形近似作图法 606
第八节 圆 607
一、圆周长 古世界圆周率——圆周率的几何计算——圆周率的表达式——实验法求圆周率——圆周率研究中的重要创见和纪录——圆周长的近似作法 607
二、圆面积 东西方著例——化圆为方——等积变换——等分圆面积 629
三、圆、弧与线段 皮匠刀形（续）——折弦问题——丰富的三角学内涵——蝴蝶定理——证法集锦——定理的推广——割线问题 637
四、圆与圆 Apollonius（十个）问题——第十个问题 649
第九节 曲线 658
一、代数曲线 圆锥曲线——三次曲线——四次曲线——卵形曲线 658
二、非代数曲线 蔷薇曲线——旋轮线——螺线——曳物线——悬链线 669
第五章 立体图形 686
第一节 四面体 686
一、鳖臑体积 686
二、出入相补原理（续） 687
三、三角形与四面体 五心——四面体上的Leibniz公式——在计算公式中三角形和四面体的对应关系——三角形面积与四面体体积 692
第二节 五面体 700
一、阳马体积 700
二、羡除体积 702
三、刍甍体积 704
第三节 六面体 705
一、立方倍积 简史——用尺规以外工具的作法 705
二、方台体积 714
三、长方台体积 716
四、立（长）方体的其他命题 719
第四节 拟柱体与中国堤积公式 720
一、拟柱体 梯形与拟柱 720
二、中国堤积公式 723
第五节 正多面体与半正多面体 727
一、正多面体 互容正多面体的构造 727
二、半正多面体 简史——半正多面体的构造 736
第六节 曲面体 745
一、圆台体积 745
二、牟合方盖体积 745
三、球 两种十二点球 745
第三编 睿智 751
第六章 错觉与悖论 751
第一节 错觉 751
一、视力错觉 视似实非——光学效果 751
二、似是而非 论证过程——论证方法 760
第二节 悖论 774
一、语言悖论 776
二、数学悖论 第一次危机——第二次危机——第三次危机 778
第七章 拓扑学与图论 783
第一节 拓扑学 784
一、Euler示性数 网络——凸n面体面角和——正多面体只有五种——半正多面体只有十三种——正多边形覆盖平面 784
二、M？bius带 798
三、交点与纽结 交点——纽结——纽结例选 801
四、Klein瓶 807
五、四色猜想 简史——五色猜想——为五种正多面体着色 810
第二节 图论 818
一、一笔画与迷宫 K？nigsberg七桥问题——迷宫 818
二、渡河问题 Alcuin《益智题集》——其他题材 829
三、Hamilton周游世界问题 简史——解法 838
四、完美正方形 简史——完美正方形构造法——余音 842
第八章 组合数学与运筹学 861
第一节 计数 862
一、棋局都数 862
二、杨辉三角形与朱世杰恒等式 865
三、Goldbach多边形分块公式 865
第二节 构造 866
一、梵塔 866
二、幻方 简史——幻方构造法——杨辉所作六阶、九阶幻方——特种幻方——珍品鉴赏——幻方与等幂和数组——拓广 869
三、抽屉原理 数量——图形——染色问题 905
四、Kirkman15名女学生问题 925
五、Euler方阵 简史——某些Euler方阵构造法——Euler方阵与幻方——三维Euler方阵——优美Euler方阵 929
第三节 构造（续） 940
一、Nim游戏 抢30——Nim游戏 940
二、称重 求砝码个数——称出假珍珠 944
三、Josephus问题 简史——问题举隅——问题的解 952
四、分油 问题选录——问题的解 962
五、十五子棋 简史——讨论和分析——推广——华容道 975
第四节 优化 984
历史名题举隅 田忌赛马——运粮之法——五等收粮——一举而三役济 984
第九章 极值与极限 989
第一节 极值 989
一、线段长度 Schwarz问题——Fermat问题——Steiner问题——三角形的外接圆、内切圆半径——等积问题 991
二、图形面积 三角形——四边形——多边形——圆 1004
三、立体体积 蜂房问题——球 1013
四、时间 反射与折射——最速降线 1022
五、数量 1029
第二节 数列 1029
一、高阶等差数列 1031
二、贾宪三角形 1042
三、自然数幂数列 问题的提出——Alhazen的工作——关孝和的工作——Bernoulli的工作——李善兰的工作 1052
四、Fibonacci数列 简史——通项公式及其分布——代数性质——数论问题——几何应用——同一问题的不同提法——0.618倍加数列 1065
第三节 极限 1089
一、数列极限 1090
二、数列与级数 1091
三、两种极限 1093
四、历史名题 Zeno悖论——愚公移山——庄周名辩——圆面积——棱锥体积——圆台体积——牟合方盖体积——球体积——曲线上给定点切线的斜率——曲线覆盖下的面积——自然数幂倒数级数——级数求和的困惑——谜样的图形长度、面积和体积 1094
五、穷竭法、穷举证法与极限 1138
第十章 拾贝 1142
第一节 数量 1143
一、猜数 年、月、日、星期——默认一个数 1143
二、填数字 Athena的故事——虫蚀算——字数对应 1147
三、填运算符号 在相同数字间填符号——在不同数字0,1～9间（依序，或逆序）填符号——组成分数使等于定值 1155
四、数异 变换——素数 1161
五、题异 余数问题——卖蛋——分遗产 1175
第二节 图形 1178
一、益智游戏 火柴游戏——拼板——连点——折纸 1178
二、剪拼 希腊十字——正方形——其他图形 1208
三、镶嵌 平面问题——立体问题——？卯和斗栱 1228
第三节 巧合 1249
索引 1255
后记 1281