目录 1
第1章 一元函数（数列）极限求法 1
本章概述 1
1.1 “？”型未定式 2
1.2 “？”型未定式 6
1.3 “∞- ∞”型未定式 7
1.4 “0·∞”型未定式 8
1.5 幂指型未定式（1∞，∞0，00） 10
1.6 求极限式中的参数 13
1.7 数列的极限 14
1.8 求无穷小的阶 16
1.9 函数、连续与间断 17
思考题·综合题·杂题 19
答案 21
第2章 一元函数微分法 23
本章概述 23
2.1 用导数定义求导数 23
2.2 隐函数的导数与微分 24
2.3 由参数方程确定的函数的导数 26
2.4 对数求导法 27
2.5 高阶导数 28
思考题·综合题·杂题 29
答案 30
本章概述 31
第3章 关于分段函数的分析运算 31
3.1 分段函数的极限与连续……………………………………………………………………………（31 ）3.2 分段函数的导数 32
3.3 分段函数在界点处的连续性与可导性 34
3.4 由分段函数的连续性与可导性求参数值 35
3.5 分段函数的积分 37
思考题·综合题·杂题 39
答案 39
第4章 关于微分中值命题 41
本章概述 41
4.1 含有一个中间值ξ的等式 41
4.2 含有两个中间值的等式 43
4.3 关于微分中值不等式 45
思考题·综合题·杂题 47
第5章 导数的应用 49
本章概述 49
5.1 函数的单调性 49
5.2 极值与最值 50
5.3 凹凸性与拐点 55
5.4 函数图形的描绘 56
思考题·综合题·杂题 58
答案 59
第6章 方程根的存在性与唯一性 61
本章概述 61
6.1 连续函数的中间值命题 61
6.2 方程根的存在性 62
6.3 方程根的唯一性 65
答案 68
思考题·综合题·杂题 68
第7章 证不等式 69
本章概述 69
7.1 利用中值定理证明不等式 69
7.2 利用单调性证不等式 71
7.3 利用最值证不等式 75
7.4 利用泰勒公式证不等式 77
7.5 利用凹凸性证明不等式 78
7.6 定积分不等式 79
思考题·综合题·杂题 83
本章概述 86
8.1 关于不定积分概念 86
第8章 不定积分的计算 86
8.2 凑微分法（第一类换元法） 87
8.3 变量替换法（第二类换元法） 91
8.4 分部积分法 93
8.5 循环与递推 96
8.6 不可积项相消 98
8.7 几种特殊类型函数的积分 99
思考题·综合题·杂题 105
答案 106
第9章 定积分计算与广义积分 108
本章概述 108
9.1 定积分的换元积分法 108
9.2 定积分的分部积分法 112
9.3 涉及定积分的函数方程 115
9.4 广义积分 116
思考题·综合题·杂题 120
答案 121
第10章 积分上限函数的有关运算 122
本章概述 122
10.1 积分上限函数的导数 122
10.2 涉及积分上限函数的极限问题 125
10.3 积分上限函数的单调性与极值 126
思考题·综合题·杂题 127
答案 128
本章概述 129
11.1 平面图形的面积 129
第11章 定积分的应用 129
11.2 两类特殊几何体的体积 132
11.3 定积分的物理应用 137
思考题·综合题·杂题 140
答案 140
第12章 向量代数与空间解析几何 142
本章概述 142
12.1 向量代数 142
12.2 直线与平面 146
12.3 空间曲线与曲面 151
思考题·综合题·杂题 153
答案 154
第13章 二元函数的极限与连续 155
本章概述 155
答案 160
思考题·综合题·杂题 160
第14章 多元函数微分法 161
本章概述 161
14.1 几个基本概念之间的关系 161
14.2 计算偏导数 164
14.3 多元隐函数求导法 170
思考题·综合题·杂题 175
答案 177
第15章 多元函数微分学的应用 179
本章概述 179
15.1 计算方向导数与梯度 179
15.2 多元函数微分法在几何上的应用 181
15.3 多元函数的极值与最值 183
思考题·综合题·杂题 188
答案 189
第16章 二重积分 191
第16～22章概述 191
本章概述 191
16.1 交换积分次序 193
16.2 通过换序求二重积分 195
16.3 选择适当的坐标系与积分次序计算二重积分 195
16.4 二重积分证明题 198
思考题·综合题·杂题 199
答案 200
第17章 三重积分 201
本章概述 201
17.1 直角坐标系下化为三次积分 202
17.2 先二后一法 205
17.3 柱坐标下化为三次积分 207
17.4 球坐标下化为三次积分 208
思考题·综合题·杂题 210
答案 211
第18章 曲线积分·格林公式 213
关于线、面积分计算的概述 213
本章概述 213
18.1 对弧长的曲线积分的计算 214
18.2 对坐标的曲线积分的直接计算法 216
18.3 格林公式 220
18.4 对坐标的曲线积分的间接计算法之一（利用格林公式） 221
18.5 对坐标的曲线积分的间接计算法之二（利用路径无关定理） 225
思考题·综合题·杂题 228
答案 229
第19章 曲面积分·高斯公式·斯托克斯公式 230
本章概述 230
19.1 对面积的曲面积分的计算法 230
19.2 对坐标的曲面积分的直接计算法 233
19.3 对坐标的曲面积分的间接计算法之一（利用高斯公式） 236
19.4 对坐标的曲面积分的间接计算法之二（化为对面积的曲面积分） 240
19.5 对坐标的曲面积分的间接计算法之三（合一投影法） 241
19.6 对坐标的（空间）曲线积分的间接计算法之三（利用斯托克斯公式） 244
思考题·综合题·杂题 248
答案 249
20.1 奇偶对称性 250
第20章 奇偶对称性·轮换对称性·代入技巧 250
本章概述 250
20.2 轮换对称性 256
20.3 代入技巧 261
思考题·综合题·杂题 262
答案 263
第21章 几何形体求积 265
本章概述 265
21.1 弧长 265
21.2 曲面的面积 267
21.3 体积 269
思考题·综合题·杂题 271
答案 272
本章概述 274
第22章 重心·转动惯量·引力 274
22.1 转动惯量 275
22.2 重心 278
22.3 引力 281
思考题·综合题·杂题 282
答案 283
第23章 绝对值和算术根 284
本章概述 284
23.1 极限运算中的绝对值和算术根 284
23.2 求导运算中的绝对值和算术根 285
23.3 积分运算中的绝对值和算术根 286
23.4 多元函数积分学中的绝对值和算术根 289
思考题·综合题·杂题 290
答案 291
第24章 常数项级数 292
本章概述 292
24.1 正项级数审敛法 292
24.2 绝对收敛与条件收敛 296
24.3 级数证明题 299
思考题·综合题·杂题 300
答案 302
第25章 幂级数与傅立叶级数 304
本章概述 304
25.1 求幂级数的收敛域 304
25.2 函数展开成幂级数 307
25.3 幂级数求和 310
25.4 傅立叶级数 313
思考题·综合题·杂题 318
答案 319
第26章 微分方程的求解问题 321
本章概述 321
26.1 一阶微分方程的解法 321
26.2 可降阶的高阶微分方程的解法 328
26.3 二阶（高阶）线性常系数微分方法的解法 328
26.4 微分方程的应用 333
思考题·综合题·杂题 335
答案 337
记号说明 338