目录译者的话记号与术语序言对读者的建议第一部分 预备知识第一章 背景材料 2
1.1 非线性问题如何产生 2
1.1A 微分几何学上的来源 2
1.1B 数学物理中的来源 9
1.1C 变分学中的来源 16
1.2 遭遇的典型困难 18
1.2A 固有的困难 18
1.2B 非固有的困难 22
1.3 来自泛函分析的细节 26
1.3A Banach空间和Hilbert空间 26
1.3B 一些有用的Banach空间 28
1.3C 有界线性泛函和弱收敛 32
1.3D 紧性 34
1.3E 有界线性算子 35
1.3F 特殊类型的有界线性算子 38
1.4 不等式与估计 43
1.4A 空间W1，p（Ω）（1≤p＜∞） 44
1.4B 空间Wm，p（RN）和？m，p（Ω）（m≥1，m是整数，1≤p＜∞） 50
1.4C 对线性椭圆型微分算子的估计 51
1.5 微分系统的经典解和广义解 53
1.5A Wm,p中的弱解 54
1.5B 半线性椭圆型系统弱解的正则性 55
1.6 有限维空间之间的映射 59
1.6A Euclid空间之间的映射 59
1.6B 同伦不变性 62
1.6C 同调与上同调不变量 65
注记 68
第二章 非线性算子 76
2.1 初等微积分 76
2.1A 有界性和连续性 76
2.1B 积分 78
2.1C 微分 81
2.1D 多重线性算子 85
2.1E 高阶导数 87
2.2 具体的非线性算子 93
2.2A 复合算子 93
2.2B 微分算子 94
2.2C 积分算子 96
2.2D 微分算子的表示法 98
2.3 解析算子 103
2.3A 等价定义 103
2.3B 基本性质 108
2.4 紧算子 109
2.4A 等价定义 109
2.4B 基本性质 112
2.4C 紧微分算子 114
2.5 梯度映射 116
2.5A 等价定义 116
2.5B 基本性质 119
2.5C 特殊的梯度映射 123
2.6 非线性Fredholm算子 126
2.6A 等价定义 126
2.6B 基本性质 127
2.6C 微分Fredholm算子 128
2.7A 等价定义 129
2.7 真映射 129
2.7B 基本性质 132
2.7C 作为真映射的微分算子 133
注记 136
第二部分 局部分析第三章 单个映射的局部分析 143
3.1 逐次逼近法 143
3.1A 压缩映射原理 143
3.1B 反函数定理和隐函数定理 145
3.1C Newton法 149
3.1D 局部满射性的一个判别法 154
3.1E 对常微分方程的应用 156
3.1F 对等周问题的应用 160
3.1G 对映射奇异性的应用 165
3.2 梯度映射的最速下降法 169
3.2A 局部极小的连续下降法 170
3.2B 等周变分问题的最速下降法 172
3.2C 对于一般临界点的结果 175
3.2D 关于一般光滑映射的最速下降法 178
3.3 解析算子和强函数法 179
3.3A 一些启发 179
3.3B 一个解析隐函数定理 180
3.3C 复解析Fredholm算子的局部性态 183
3.4A 一些启发 185
3.4 广义反函数定理 185
3.4B J．Moser的一个结果 186
3.4C 光滑算子 189
3.4D 对于局部共轭问题的反函数定理 192
注记 195
第四章 依赖于参数的扰动现象 202
4.1 分歧理论——一个构造性方法 202
4.1A 定义和基本问题 203
4.1B 简化为有限维问题 207
4.1C 单重情况 209
4.1D 一个收敛的迭代格式 213
4.1E 高重情况 218
4.2A 一些启发 221
4.2 分歧理论中的超越方法 221
4.2B 分歧理论中的Brouwer度 223
4.2C 初等临界点理论 226
4.2D 分歧理论中的Morse型数 231
4.3 具体的分歧现象 234
4.3A 限制三体问题中平衡点附近的周期运动 234
4.3B 非线性弹性中的屈曲现象 239
4.3C Navier-Stokes方程的第二定常流 247
4.3D 紧复流形上复结构的分歧 254
4.4A 一些启发 259
4.4 渐近展开和奇异扰动 259
4.4B 形式渐近展开的有效性 261
4.4C 对半线性Dirichlet问题（Ⅱε）的应用 270
4.5 经典数学物理中的某些奇异扰动问题 276
4.5A 由瞬时力作用的非谐振子的扰动 277
4.5B 非线性弹性中的薄膜逼近 278
4.5C 黏性流体的扰动Jeffrey-Hamel流 280
注记 285
第三部分 大范围分析第五章 一般非线性算子的全局性理论 293
5.1 线性化 293
5.1A 整体同胚 294
5.1B 具奇异值的映射 304
5.2 有限维逼近 313
5.2A Galerkin逼近 313
5.2B 对拟线性椭圆型方程的应用 318
5.2C 强制性限制的消除 320
5.2D 梯度算子的Rayleigh-Ritz逼近 324
5.2E Navier-Stokes方程的定常态解 326
5.3 同伦，映射度及其推广 330
5.3A 一些启发 330
5.3B 连续映射的紧扰动 331
5.3C 恒等算子的紧扰动与Leray-Schauder度 335
5.3D 线性Fredholm映射的紧扰动及稳定同伦 349
5.3E 零指标C2真Fredholm算子的广义度 358
5.4 同伦和非线性算子的映射性质 362
5.4A 满射性质 362
5.4B 单叶性和同胚性质 364
5.4C 不动点定理 367
5.4D 谱性质和非线性本征值问题 370
5.4E 可解性的充要条件及其推论 377
5.4F 保锥算子的性质 381
5.5 对非线性边值问题的应用 384
5.5A 拟线性椭圆型方程的Dirichlet问题 385
5.5B △u＋f（x，u）＝0的Dirichlet问题的正解 387
5.5C 周期水波 389
5.5D 自治系统周期运动的延拓 395
5.5E 强制半线性椭圆型边值问题可解的充要条件 398
注记 400
第六章 梯度映射的临界点理论 406
6.1 极小化问题 406
6.1A 下确界的达到 407
6.1B 一个例证 413
6.1C 与拟线性椭圆型方程有关的极小化问题 415
6.2A 常值负Hermite纯量曲率的Hermite度量 424
6.2 来自几何学与物理学的具体极小化问题 424
6.2B 非线性弹性中的稳定平衡态 430
6.2C Plateau问题 434
6.2D Euclid量子场论中的动态不稳定性（在平均场逼近下） 437
6.3 等周问题 439
6.3A 梯度映射的非线性本征值问题 440
6.3B 半线性梯度算子方程的可解性 448
6.4 几何和物理中的等周问题 455
6.4A 非线性Hamilton系统的大振幅周期解族 455
6.4B 具零Euler-Poincaré示性数的紧2维流形之指定Gauss曲率的Riemann结构 461
6.4C 具指定纯量曲率的Riemann流形 465
6.4D S2上指定Gauss曲率的共形度量 467
6.4E 一个全局性自由边界问题——理想流体中持久形式的定常涡环 471
6.5 Hilbert空间中的Marston Morse临界点理论 477
6.5A 最速下降法的一个改进 478
6.5B 退化与非退化临界点 479
6.5C Morse型数 483
6.5D Morse不等式 488
6.5E 例证 490
6.6 Ljusternik和Schnirelmann的临界点理论 494
6.6A 一些启发 494
6.6B 极小极大原理 495
6.6C Ljusternik-Schnirelmann范畴 499
6.6D 对非线性本征值问题的应用 501
6.7 一般临界点理论的应用 505
6.7A 对梯度映射分歧理论的应用 505
6.7B 含梯度映射的算子方程的多重解 510
6.7C 柔弹性板的整体平衡态 512
6.7D 某些非线性波动方程的定态 517
6.7E 紧Riemann流形两点间的测地线 520
注记 522
附录A 关于微分流形 527
附录B 关于微分形式的Hodge-Kodaira分解 533
参考文献 536
汉英数学词汇对照 553