1.1 基本概念和泰勒定理 1
1.1.1 极限、连续性和导数 1
目录 1
译者序 1
前言 1
什么是数值分析 1
第1章 数学预备知识 1
1.0 概述 1
1.1.2 泰勒定理 4
1.1.3 泰勒公式的其他形式 7
习题1.1 8
1.2.1 收敛序列 10
1.2 收敛阶及相关基本概念 10
1.2.3 大O和小o记号 12
1.2.2 收敛阶 12
1.2.5 嵌套乘法 14
1.2.4 积分中值定理 14
1.2.7 显函数与隐函数 15
1.2.6 上界和下界 15
习题1.2 17
1.3 差分方程 20
计算机习题1.2 20
1.3.1 基本概念 21
1.3.2 单根 23
1.3.3 重根 24
1.3.4 稳定的差分方程 25
习题1.3 26
计算机习题1.3 27
2.1 浮点数和舍入误差 29
2.0 概述 29
第2章 计算机算术运算 29
2.1.2 规格化的科学记数法 30
2.1.1 舍入 30
2.1.3 假想计算机Marc-32 31
2.1.6 Fortran 90的内部过程 33
2.1.5 机器舍入 33
2.1.4 零，无穷大，非数字 33
2.1.8 接近的机器数 34
2.1.7 IEEE标准浮点算术运算 34
2.1.9 浮点误差分析 37
2.1.10 相对误差分析 38
习题2.1 40
计算机习题2.1 42
2.2.1 有效位丢失 43
2.2 绝对误差和相对误差：有效位丢失 43
2.2.3 精度丢失 44
2.2.2 几乎相等量的减法 44
习题2.2 46
2.2.5 区间算术运算 46
2.2.4 函数求值 46
计算机习题2.2 48
2.3.1 数值的不稳定性 50
2.3 稳定计算和不稳定计算：调节 50
2.3.2 调节 52
习题2.3 54
计算机习题2.3 55
3.0 概述 57
第3章 非线性方程的解 57
3.1 对分（区间减半）法 58
3.1.1 对分算法 59
3.1.2 误差分析 61
习题3.1 62
3.2.1 牛顿算法 63
3.2 牛顿法 63
计算机习题3.1 63
3.2.2 图形解释 64
3.2.3 误差分析 65
3.2.4 隐函数 67
3.2.5 非线性方程组 68
习题3.2 70
计算机习题3.2 72
3.3 割线法 73
3.3.1 割线算法 74
3.3.2 误差分析 75
习题3.3 77
3.4 不动点和函数迭代 78
计算机习题3.3 78
习题3.4 83
3.5 求多项式的根 85
3.5.1 霍纳算法 88
3.5.2 贝尔斯托法 92
3.5.3 拉盖尔迭代 95
3.5.4 复牛顿法 99
计算机习题3.5 101
习题3.5 101
3.6.1 基本概念 102
3.6 同伦法和延拓法 102
3.6.2 跟踪路径 104
3.6.4 线性规划 106
3.6.3 与牛顿法的关系 106
习题3.6 108
4.1 矩阵代数 109
4.0 概述 109
第4章 解线性方程组 109
4.1.1 矩阵性质 111
4.1.2 分块矩阵 114
习题4.1 115
计算机习题4.1 116
4.2.1 容易求解的方程组 117
4.2 LU分解和楚列斯基分解 117
4.2.2 LU分解 119
4.2.3 楚列斯基分解 123
习题4.2 125
4.3 选主元和构造算法 128
计算机习题4.2 128
4.3.1 基本的高斯消元法 129
4.3.2 选主元 132
4.3.3 行尺度主元高斯消元法 134
4.3.5 分解PA＝LU 136
4.3.4 全主元高斯消元法 136
4.3.6 运算量 138
4.3.7 对角占优矩阵 139
4.3.8 三对角方程组 141
习题4.3 142
计算机习题4.3 146
4.4.1 向量范数 147
4.4 范数和误差分析 147
4.4.2 矩阵范数 148
4.4.3 条件数 150
习题4.4 151
4.5 诺伊曼级数和迭代细化 155
计算机习题4.4 155
4.5.1 迭代细化 158
4.5.2 均衡化 160
习题4.5 161
4.6 用迭代法解方程组 163
计算机习题4.5 163
4.6.1 基本概念 164
4.6.2 理查森方法 166
4.6.3 雅可比方法 167
4.6.4 分析 168
4.6.5 高斯-赛德尔方法 170
4.6.6 SOR方法 172
4.6.7 迭代矩阵 173
4.6.8 外推 174
4.6.9 切比雪夫加速 176
习题4.6 180
4.7 最速下降法和共轭梯度法 182
计算机习题4.6 182
4.7.1 最速下降法 184
4.7.2 共轭方向 185
4.7.3 共轭梯度法 186
4.7.4 预处理的共轭梯度法 189
习题4.7 192
4.8 高斯算法中的舍入误差分析 193
计算机习题4.7 193
习题4.8 199
5.0 基本概念回顾 201
第5章 数值线性代数精选 201
5.1.1 幂法 203
5.1 矩阵特征值问题：幂法 203
5.1.2 算法 204
5.1.3 艾特肯加速 205
5.1.4 逆幂法 206
习题5.1 207
5.1.5 小结 207
5.2 舒尔定理和Gershgorin定理 209
计算机习题5.1 209
5.2.1 舒尔分解 210
5.2.2 特征值的定位 212
习题5.2 214
5.3.1 基本概念 216
5.3 正交分解和最小二乘问题 216
5.3.2 格拉姆-施密特过程 217
5.3.3 修正的格拉姆-施密特算法 218
5.3.4 最小二乘问题 220
5.3.5 豪斯霍尔德QR分解 221
习题5.3 224
5.4 奇异值分解和广义逆 227
计算机习题5.3 227
5.4.1 广义逆 229
5.4.2 不相容方程组和欠定方程组 230
5.4.3 Penrose性质 231
习题5.4 234
5.5.1 QR分解 236
5.5 特征值问题的弗朗西斯QR算法 236
计算机习题5.4 236
5.5.2 约化到上海森伯格形 237
5.5.3 位移QR分解 239
5.5.4 初等行运算和列运算 241
习题5.5 242
计算机习题5.5 243
6.1.1 牛顿型插值多项式 245
6.1 多项式插值 245
第6章 函数逼近 245
6.0 概述 245
6.1.2 拉格朗日型插值多项式 247
6.1.4 切比雪夫多项式 250
6.1.3 多项式插值的误差 250
6.1.5 选取结点 252
6.1.6 插值多项式的收敛性 253
习题6.1 256
6.2 均差 260
6.2.1 高阶均差 261
6.2.2 均差的算法 263
6.2.3 均差性质 264
6.2.4 Hermite-Genocchi公式 265
习题6.2 266
6.3.1 基本概念 268
6.3 埃尔米特插值 268
计算机习题6.2 268
6.3.2 牛顿均差方法 270
6.3.3 拉格朗日型 272
6.3.4 带重复结点的均差 273
习题6.3 275
6.4 样条插值 276
6.4.1 三次样条 277
6.4.2 张力样条 282
6.4.3 高次自然样条的理论 284
习题6.4 286
计算机习题6.4 289
6.5.1 0次B样条 290
6.5 B样条：基本理论 290
6.5.3 B样条的性质 292
6.5.2 一次B样条 292
6.5.4 数值计算过程 293
6.5.5 B样条的导数和积分 294
6.5.6 附加性质 296
习题6.5 297
6.6.1 空间Skn基 299
6.6 B样条：应用 299
计算机习题6.5 299
6.6.2 插值矩阵 300
6.6.3 存在性 303
6.6.4 非插值逼近方法 304
习题6.6 306
6.6.5 函数到样条空间的距离 306
6.7 泰勒级数 307
计算机习题6.6 307
习题6.7 309
6.8 最佳逼近：最小二乘理论 311
计算机习题6.7 311
6.8.2 内积空间 312
6.8.1 存在性 312
6.8.3 正规方程 314
6.8.4 标准正交系 315
6.8.6 格拉姆-施密特过程 316
6.8.5 广义毕达哥拉斯法则和贝塞尔不等式 316
6.8.7 算法 318
6.8.8 格拉姆矩阵 319
习题6.8 320
6.9 最佳逼近：切比雪夫理论 321
6.9.1 刻画最佳逼近的特征 322
6.9.2 凸性 324
6.9.4 再论特征定理 326
6.9.3 线性方程组的切比雪夫解 326
6.9.5 哈尔子空间 327
6.9.6 最佳逼近的唯一性 328
6.9.7 切比雪夫交替定理 329
6.9.8 算法 330
习题6.9 332
6.10.2 笛卡儿积和网格 333
6.10.1 插值问题 333
6.10 高维插值 333
6.10.3 布尔和 334
6.10.4 张量积 336
6.10.5 几何图形 337
6.10.6 牛顿格式 339
6.10.7 Shepard插值 340
6.10.8 三角剖分 342
6.10.9 移动最小二乘法 344
6.10.10 多重二次插值 345
习题6.10 346
6.11 连分式 347
计算机习题6.10 347
6.11.1 递归公式 348
6.11.2 级数到连分式的转换 350
习题6.11 351
6.12.1 傅里叶级数 353
6.12 三角插值 353
计算机习题6.11 353
6.12.2 复傅里叶级数 354
6.12.3 内积，伪内积，伪范数 355
6.12.4 指数多项式 356
6.13 快速傅里叶变换 357
习题6.12 357
6.13.1 分析 359
6.13.2 算法 361
6.13.3 混淆现象和奈奎斯特频率 362
6.13.4 计算指数多项式的值 363
计算机习题6.13 364
习题6.13 364
6.14.2 算法 365
6.14.1 一次样条 365
6.14 自适应逼近 365
6.14.3 一般情况 368
计算机习题6.14 369
习题6.14 369
7.1.1 数值微分 371
7.1 数值微分和理查森外推 371
第7章 数值微分和数值积分 371
7.1.2 通过多项式插值的微分 374
7.1.3 理查森外推 376
习题7.1 380
计算机习题7.1 381
7.2 基于插值的数值积分 382
7.2.2 梯形法则 383
7.2.1 通过多项式插值的积分 383
7.2.4 辛普森法则 385
7.2.3 待定系数法 385
7.2.5 一般积分公式 386
7.2.6 区间变换 387
7.2.7 误差分析 388
习题7.2 389
7.3 高斯求积 392
计算机习题7.2 392
7.3.1 高斯求积公式 393
7.3.2 收敛性和误差分析 396
习题7.3 397
7.4.1 递推梯形法则 400
7.4 龙贝格积分 400
计算机习题7.3 400
7.4.3 分析 402
7.4.2 龙贝格算法 402
习题7.4 404
7.5 自适应求积 405
计算机习题7.4 405
习题7.5 408
计算机习题7.5 409
7.6 逼近泛函的Sard定理 410
7.7 伯努利多项式和欧拉-麦克劳林公式 414
习题7.6 414
习题7.7 417
8.1.1 存在性 419
8.1 解的存在性和唯一性 419
第8章 常微分方程数值解 419
8.0 概述 419
8.1.2 唯一性 420
习题8.1 421
8.2 泰勒级数方法 422
计算机习题8.1 422
8.2.1 实例 423
8.2.3 误差 425
8.2.2 权衡利弊 425
8.2.5 延迟微分方程 426
8.2.4 欧拉方法 426
习题8.2 427
计算机习题8.2 428
8.3.1 二阶龙格-库塔方法 430
8.3 龙格-库塔方法 430
8.3.2 四阶龙格-库塔方法 432
8.3.3 误差 433
8.3.4 自适应龙格-库塔-费尔贝格方法 434
习题8.3 436
计算机习题8.3 437
8.4.1 亚当斯-巴什福思公式 439
8.4 多步法 439
8.4.2 亚当斯-莫尔顿公式 440
8.4.3 线性多步法的分析 441
习题8.4 443
计算机习题8.4 444
8.5.1 隐式／显式以及收敛方法 445
8.5 局部误差和整体误差：稳定性 445
8.5.2 稳定性和相容性 446
8.5.4 局部截断误差 447
8.5.3 米尔恩方法 447
8.5.5 整体截断误差 448
习题8.5 450
8.6.1 向量记号 451
8.6 方程组和高阶常微分方程 451
8.6.2 方程组的泰勒级数方法 453
8.6.3 方程组的其他方法 454
习题8.6 455
计算机习题8.6 456
8.7 边值问题 457
8.7.2 变量替换 458
8.7.1 存在性 458
习题8.7 462
8.8 边值问题：打靶法 464
8.8.2 线性函数 465
8.8.1 割线法 465
8.8.4 多重打靶 467
8.8.3 牛顿方法 467
8.8.5 二阶线性方程 468
习题8.8 469
计算机习题8.8 470
8.9.2 线性情况 471
8.9.1 二阶微分方程 471
8.9 边值问题：有限差分法 471
8.9.3 收敛性 472
计算机习题8.9 473
习题8.9 473
8.10.1 施图姆-刘维尔边值问题 474
8.10 边值问题：配置法 474
8.10.2 三次B样条 475
计算机习题8.10 476
8.11.1 特征值和特征向量 477
8.11 线性微分方程 477
8.11.2 矩阵指数 479
8.11.4 若尔当块 480
8.11.3 对角阵和可对角化阵 480
8.11.5 完全一般性解 482
8.11.6 非齐次问题 483
习题8.11 485
8.12.1 欧拉方法 486
8.12 刚性方程 486
8.12.3 微分方程组 487
8.12.2 修正的欧拉方法 487
8.12.5 A稳定性 488
8.12.4 一般的线性多步法 488
8.12.6 绝对稳定性区域 489
计算机习题8.12 490
习题8.12 490
8.12.7 非线性方程 490
9.1.1 热传导方程 491
9.1 抛物型方程：显式方法 491
第9章 偏微分方程数值解 491
9.0 概述 491
9.1.2 有限差分法 492
9.1.3 算法 493
9.1.4 稳定性分析 494
习题9.1 496
9.1.5 稳定性分析：傅里叶方法 496
9.2 抛物型方程：隐式方法 497
计算机习题9.1 497
9.2.1 算法 498
9.2.2 克兰克-尼科尔森方法 499
9.2.3 分析 500
习题9.2 501
9.2.4 小结 501
9.3.2 有限差分 502
9.3.1 狄利克雷问题 502
计算机习题9.2 502
9.3 定常问题：有限差分法 502
9.3.3 算法 504
习题9.3 505
9.4.1 伽辽金法 506
9.4 定常问题：伽辽金法 506
计算机习题9.3 506
9.4.2 狄利克雷问题 507
9.4.4 瑞利-里茨方法 509
9.4.3 泊松方程 509
习题9.4 511
9.4.5 有限元素法 511
计算机习题9.4 512
9.5 一阶偏微分方程：特征线法 512
9.5.1 一阶方程组 512
9.5.2 特征曲线 513
9.5.3 特征曲线的一般理论 514
习题9.5 517
9.6 拟线性二阶方程：特征线法 518
9.6.1 特征曲线 518
9.6.2 分类 519
9.6.3 算法 520
9.6.4 另一种特征线法 524
习题9.6 525
计算机习题9.6 525
9.7 双曲型问题的其他方法 525
9.7.1 拉克斯-温德罗夫方法 526
9.7.2 方程组 527
9.7.3 温德罗夫隐式方法 527
9.7.4 伽辽金法 529
习题9.7 530
9.8 多重网格方法 531
9.8.1 作为说明的例子 531
计算机习题9.7 531
9.8.2 误差的阻尼 533
9.8.3 分析 534
9.8.4 限制和网格校正 535
9.8.5 V循环算法 536
9.8.6 运算量 537
9.9 泊松方程的快速方法 538
计算机习题9.8 538
9.9.1 模型问题 538
习题9.8 538
9.9.2 快速傅里叶正弦变换 539
9.9.3 附加的细节 540
计算机习题9.9 541
10.1 凸性和线性不等式 543
10.1.1 基本概念 543
第10章 线性规划及其相关论题 543
10.1.2 凸集和凸包 544
10.1.3 极值点 546
习题10.1 547
10.2 线性不等式 548
10.2.1 齐次方程组 549
10.2.2 线性不等式 549
10.2.3 相容系统和不相容系统 550
10.2.4 矩阵-向量形式 551
习题10.2 552
10.3 线性规划 553
10.3.1 转换问题的方法 553
10.3.2 对偶问题 554
习题10.3 556
10.4 单纯形法 557
10.4.1 基本概念 557
10.4.2 抽象形式 558
10.4.3 表格法 561
10.4.4 表格法则 562
10.4.5 进一步说明 562
10.4.6 小结 563
10.4.7 工作量估计 563
10.4.8 其他算法 564
习题10.4 564
第11章 最优化 565
11.0 概述 565
11.1 单变量情况 566
习题11.1 568
11.2 下降法 568
习题11.2 570
11.3 二次目标函数的分析 571
11.4 二次拟合算法 572
习题11.4 573
11.5 Nelder-Mead算法 573
11.6 模拟退火法 574
11.7 遗传算法 575
11.8 凸规划 576
11.9 约束极小化 577
11.10 帕雷托最优化 577
习题11.10 578
附录A 数学软件一览 579
参考文献 590
索引 615