1 复数与复变函数 1
1.1 复数及其代数运算 1
1.1.1 复数的概念 1
1.1.2 复数的代数运算 1
1.2 复数的几何表示 2
1.2.1 复平面 2
1.2.2 复数的乘幂与方根 4
1.3 区域与复球面 5
1.3.1 区域 5
1.3.2 复球面 6
1.4 复变函数 7
1.4.1 复变函数的定义 7
1.4.2 映射的概念 8
1.5 复变函数的极限与连续性 9
1.5.1 函数的极限 9
1.5.2 函数的连续性 11
习题1 12
2.1 解析函数的概念 14
2.1.1 复变函数的导数与微分 14
2 解析函数 14
2.1.2 解析函数的概念 16
2.2 函数解析的充要条件 17
2.3 初等函数 19
2.3.1 指数函数 20
2.3.2 对数函数 20
2.3.4 三角函数与反三角函数 22
2.3.3 幂函数 22
2.3.5 双曲函数与反双曲函数 24
习题2 25
3 复变函数的积分 27
3.1 复变函数积分的概念 27
3.1.1 积分的定义 27
3.1.2 积分存在的条件及计算方法 28
3.2.1 柯西（Cauchy）定理 30
3.2 柯西积分定理 30
3.1.3 积分的基本性质 30
3.2.2 复闭路的柯西定理 31
3.2.3 原函数与不定积分 33
3.3 柯西积分公式 35
3.4 解析函数的高阶导数 36
3.5 解析函数与调和函数的关系 38
*3.6 柯西积分的重要推论 40
习题3 42
4 级数 44
4.1 复数项级数 44
4.2 幂级数 45
4.2.1 函数项级数的概念 45
4.2.2 幂级数及其收敛圆 46
4.2.3 收敛半径的求法 47
4.2.4 幂级数的运算 48
4.3 泰勒级数 49
4.4 洛朗级数 52
习题4 56
5 留数定理及其应用 58
5.1 孤立奇点 58
5.1.1 孤立奇点的分类 58
5.1.2 函数的零点与极点的关系 60
5.1.3 函数在无穷远点的性态 61
5.2 留数 62
5.2.1 留数概念与留数定理 63
5.2.2 留数的计算法则 64
5.2.3 无穷远点的留数 66
5.3 留数在定积分计算中的应用 68
5.3.1 形如∫2π0R(cosθ,sinθ)dθ的积分 68
5.3.2 形如∫+∞-∞R(z)dz的积分 70
5.3.3 形如∫+∞-∞R(x)eiaxdx(a＞0)的积分 71
*5.3.4 R(z)在实轴有一级极点的情况 73
习题5 75
6.1.1 曲线的切线方向 78
6.1 保角映射的概念 78
6 保角映射 78
6.1.2 Argf′(z0)的几何意义 79
6.1.3 |f′(z0)|的几何意义 80
6.1.4 保角映射的定义 80
6.1.5 保角映射的基本问题 81
6.2 分式线性映射 83
6.2.1 分式线性映射的分解 83
6.2.2 保角性 85
6.2.3 保圆性 85
6.2.4 保对称性 86
6.3 几个特殊的分式线性映射 86
6.3.1 把3点映为3点的分式线性映射 86
6.3.2 将上半平面映射成单位圆域 88
6.3.3 将单位圆域映射成单位圆域 90
6.4 几个初等函数构成的映射 92
6.4.1 幂函数和根式函数 92
6.4.2 指数函数与对数函数 94
习题6 97
7 傅里叶变换 99
7.1 傅里叶积分与傅里叶变换 99
7.1.1 傅里叶积分 99
7.1.2 傅里叶变换 100
7.1.3 频谱概念 103
7.2 单位脉冲函数（δ函数） 106
7.2.2 δ函数的定义 107
7.2.1 集中质量的密度 107
7.2.3 δ函数的性质 110
7.3 傅里叶变换的性质 113
7.3.1 线性性质 113
7.3.2 位移性质 113
7.3.3 相似性质 114
7.3.4 微分性质 114
7.3.5 积分性质 115
7.3.6 卷积与卷积定理 116
*7.3.7 乘积定理与能量积分 117
习题7 119
8 拉普拉斯变换 122
8.1 拉普拉斯变换的概念 122
8.1.1 拉普拉斯变换的定义 122
8.1.2 拉普拉斯变换的存在定理 123
8.1.3 周期函数的拉普拉斯变换 125
8.2 拉普拉斯变换的性质 125
8.2.3 微分性质 126
8.2.2 相似性质 126
8.2.1 线性性质 126
8.2.4 积分性质 127
8.2.5 位移性质 129
8.2.6 延迟性质 129
8.2.7 卷积和卷积定理 131
8.3 拉普拉斯逆变换 132
8.4 拉普拉斯变换的应用 134
8.4.1 求解微分方程 135
8.4.2 求解微分积分方程 136
习题8 137
9 典型方程与定解问题 140
9.1 典型方程的建立 140
9.1.1 弦振动方程 140
9.1.2 热传导方程 142
*9.1.3 传输线方程 143
9.1.4 稳定问题 145
9.2.1 有界弦的定解条件 146
9.2 定解条件与定解问题 146
9.2.2 三维热传导方程的定解条件 147
9.2.3 定解问题 149
9.2.4 定解问题的适定性 150
9.3 线性方程与叠加原理 150
9.3.1 方程的一般名称 150
9.3.2 线性方程的叠加原理 151
习题9 153
10.1.1 两端固定 155
10 分离变量法 155
10.1 有界弦的自由振动 155
10.1.2 两端自由 159
10.1.3 两端弹性支承 160
10.2 有界弦的强迫振动 165
10.3 非齐次边界条件的处理 168
10.4 热传导方程的混合问题 172
10.5 二维位势方程的边值问题 176
10.5.1 矩形膜上的温度分布 176
10.5.2 圆域的拉普拉斯方程边值问题 177
10.5.3 泊松方程的边值问题 181
10.6 二阶常微分方程的固有值问题 183
10.6.1 S-L型方程 183
10.6.2 自然边界条件与周期性条件 184
10.6.3 S-L型方程的固有值问题 185
10.6.4 斯图姆－刘维尔理论 185
*10.7 矩形膜横振动方程的混合问题 188
习题10 190
11 特殊函数 194
11.1 贝塞尔函数 194
11.1.1 贝塞尔方程与第一类贝塞尔函数 194
11.1.2 贝塞尔函数的基本性质 196
11.1.3 第二类贝塞尔函数 197
11.1.4 贝塞尔函数的递推公式 198
11.1.5 贝塞尔函数的零点 200
11.1.6 贝塞尔方程的固有值问题 203
*11.1.7 贝塞尔函数的其他类型 206
*11.1.8 可化为贝塞尔方程的微分方程 208
11.2 勒让德多项式 209
11.2.1 勒让德方程及其幂级数解 209
11.2.2 勒让德多项式 210
11.2.3 勒让德多项式的母函数与递推公式 212
11.2.4 勒让德方程的固有值问题 214
11.2.5 伴随勒让德方程和伴随勒让德多项式 216
11.2.6 球函数方程和球函数 218
习题11 221
12.1 贝塞尔函数的应用 224
12.1.1 圆盘的温度分布 224
12 特殊函数的应用 224
12.1.2 位移与角度无关的圆膜振动 226
12.1.3 悬垂弦线的横振动 228
12.1.4 边界固定的圆膜振动 230
*12.1.5 圆柱体的波传播 232
*12.1.6 圆柱体的稳定温度分布 235
12.2 勒让德多项式的应用 237
12.2.1 球面外的电位 237
12.2.2 半球内的稳定温度分布 239
12.2.3 球内的稳定温度分布 241
*12.2.4 球域的波动问题 242
习题12 245
13.1 行波法解一维波动方程初值问题 247
13.1.1 达朗贝尔（D′Alember）公式 247
13 行波法与二阶方程的分类 247
13.1.2 物理意义 248
*13.1.3 半直线上的波动问题 250
13.2 高维齐次波动方程的初值问题 251
13.2.1 三维齐次波动方程的球对称解 251
13.2.2 三维波动方程的初值问题——球平均法 252
13.2.3 二维波动方程的初值问题——降维法 254
13.2.4 泊松公式的物理意义 255
13.3.1 一维非齐次波动方程 256
13.3 非齐次波动方程的初值问题 256
13.3.2 高维非齐次波动方程 258
13.4 两个自变量二阶方程的化简 259
13.4.1 两个自变量的二阶方程 259
13.4.2 特征方程和特征线 260
13.4.3 二阶方程的分类 260
13.4.4 二阶方程的标准形式 262
习题13 264
14.1.1 一维热传导方程的初值问题 266
14 积分变换法 266
14.1 傅里叶变换在数理方程中的应用 266
14.1.2 半无界扩散问题 268
14.1.3 半平面的稳定问题 269
14.1.4 三维拉普拉斯方程的基本解 270
*14.1.5 二维拉普拉斯方程的基本解 271
14.2 拉普拉斯变换在数理方程中的应用 272
14.2.1 无界电极方程的混合问题 272
14.2.2 半无限长细杆的热传导问题 273
14.2.3 半无限长弦的受迫振动 274
14.2.4 有限长细杆的热传导 275
习题14 276
15 边值问题的格林函数法 279
15.1 拉普拉斯方程的边值问题 279
15.1.1 边值问题 279
15.1.2 格林公式 280
15.1.3 调和函数的性质 283
15.1.4 第一、第二边值问题的惟一性与连续依赖性 284
15.1.5 格林函数 285
15.2 球域与半空间的格林函数及第一边值问题的解 289
15.2.1 半空间的第一边值问题 289
15.2.2 球域的第一边值问题 291
15.2.3 圆域与上半平面的第一边值问题 292
15.3 保角变换对二维调和方程的应用 293
15.3.1 保角变换下的泊松方程 294
15.3.2 保角变换下的格林函数 295
习题15 298
16 变分原理和有限元法 300
16.1 变分问题 300
16.1.1 泛函的极值 300
16.1.2 欧拉（Euler）方程 301
16.1.3 依赖于含多个自变量函数的泛函 303
16.1.4 膜平衡方程 304
16.2 边值问题的变分原理 306
16.3.1 广义导数 308
16.3 Sobolev空间与广义解 308
16.3.2 Sobolev空间 310
16.3.3 广义解的存在与惟一性 312
16.4 Ritz-Galerkin方法 314
16.4.1 Ritz方法 315
16.4.2 Galerkin方法 316
16.5 有限元法 316
16.5.1 三角形剖分与分片插值 317
16.5.2 基函数的性质 319
16.5.3 单元分析 321
16.5.4 总体合成 323
习题16 325
17 非线性方程 327
17.1 激波与孤立波 327
17.1.1 一阶线性偏微分方程的特征线法 327
17.1.2 激波 329
17.1.3 孤立波 333
17.2.1 伯格斯（Burgers）方程 334
17.2 某些非线性方程的初等解法 334
17.2.2 基尔霍夫（Kirchhoff）变换 335
17.2.3 相似变换 336
17.2.4 行波解 336
17.3 正则摄动法 337
17.3.1 摄动问题与摄动法 337
17.3.2 正则摄动法举例 338
习题17 340
附录A 球坐标与柱坐标的拉普拉斯算子表示式 342
附录B Γ函数 343
附录C 傅里叶变换简表 345
附录D 拉普拉斯变换简表 348
附录E 误差函数 351
附录F 特殊函数简表 352
习题答案 356
参考文献 371