1数学模型与定解条件 1
1.1引言 1
1.2数学模型 1
1.2.1弦振动与膜振动 2
1.2.2固体中的热传导及扩散问题 7
1.2.3静电场的位势 10
1.2.4电报方程（传输线方程） 11
1.3定解条件与定解问题 13
1.3.1泛定方程 13
1.3.2定解条件 13
1.3.3定解条件的形式和定解问题 14
1.3.4定解问题的适定性介绍 17
1.4偏微分方程的基本概念及线性迭加原理 18
1.4.1偏微分方程的基本概念 18
1.4.2线性偏微分方程的迭加原理 20
习题 21
2分离变量法 24
2.1引言 24
2.2直角坐标系下的分离变量法 24
2.2.1齐次方程定解问题的解法——分离变量法 24
2.2.2非齐次方程定解问题的解法 33
2.2.3非齐次定解条件的处理 40
2.2.4分离变量法要点 42
2.2.5混合问题解的适定性 43
2.2.6在直角坐标系下分离变量法的进一步应用 45
2.3极坐标系下的分离变量法 48
2.3.1圆域内拉普拉斯方程的狄里克莱问题的分离变量法 49
2.3.2圆域内泊松方程狄里克莱问题的固有函数法 51
2.4柱坐标系下的分离变量法 55
2.4.1贝塞尔函数 55
2.4.2圆柱内热传导方程混合问题的分离变量法 63
2.4.3圆柱内拉普拉斯方程狄里克莱问题的分离变量法 65
2.4.4圆柱内波动方程混合问题的分离变量法 67
2.5球坐标系下的分离变量法 70
2.5.1勒让德多项式 70
2.5.2球域内拉普拉斯方程狄里克莱问题的分离变量法 78
2.5.3球域内拉普拉斯方程诺依曼问题的分离变量法 80
2.6斯特姆-刘维尔问题 81
2.6.1基本概念 81
2.6.2基本性质 82
习题 83
3积分变换法 87
3.1引言 87
3.2δ-函数 88
3.2.1δ-函数的概念 88
3.2.2δ-函数 89
3.2.3高维的δ-函数的傅里叶展开式 90
3.2.4δ-函数的傅里叶展开式样 91
3.3傅里叶变换法 91
3.3.1傅里叶变换及其性质 91
3.3.2求解定解问题的傅里叶变换法 99
3.4拉普拉斯变换法 104
3.4.1拉普拉斯变换及其性质 104
3.4.2求解定解问题的拉普拉斯变换法 115
3.5基本解及其性质 119
3.5.1波动方程的基本解及其性质 120
3.5.2热传导方程的基本解及其性质 123
3.5.3调和方程的基本解及其性质 124
习题 126
4行波法 129
4.1引言 129
4.2一维波动方程柯西问题的行波法 129
4.2.1达朗贝尔公式 129
4.2.2解的物理意义 131
4.2.3解的依赖区域决定区域和影响区域 134
4.2.4半无界域上波动方程柯西问题的延拓法 136
4.3三维波动方程柯西问题的解法 139
4.3.1球对称三维波动方程的解 139
4.3.2三维波动方程柯西问题的球平均法 140
4.3.3三维波动方程柯西问题的类比法 142
4.3.4解的物理意义 143
4.4二维波动方程柯西问题的解法 144
4.4.1降维法 145
4.4.2解的物理意义 146
4.5非齐次波动方程柯西问题的冲量定理法 146
4.5.1一维非齐次波动方程柯西问题的解的表达式 147
4.5.2二维非齐次波动方程柯西问题的解的表达式 148
4.5.3三维非齐次波动方程柯西问题的解的表达式 148
习题 149
5格林函数法 152
5.1引言 152
5.2非齐次波动方程定解问题的格林函数法 152
5.3非齐次热传导方程定解问题的格林函数法 155
5.4拉普拉斯方程边值问题的格林函数法 159
5.4.1拉普拉斯方程内问题和外问题的提法 159
5.4.2格林公式 161
5.4.3调和函数的基本性质 163
5.4.4拉普拉斯方程的格林函数的表达式及物理意义 165
5.4.5拉普拉斯方程边值问题的格林函数解法的应用实例 168
5.5椭圆型方程边值问题的一些特殊解法 172
5.5.1观察法 172
5.5.2系数代入法 174
5.5.3保角变换法 179
习题 183
6二阶线性偏微分方程的分类与小结 187
6.1引言 187
6.2二阶线性偏微分方程的分类与化简 187
6.2.1含两个自变数的二阶线性方程的分类和化简 188
6.2.2常系数二阶线性偏微分方程化归标准形 195
6.2.3含多个自变量的二阶线性偏微分方程的分类 200
6.2.4关于二阶线性偏微分方程分类的意义 202
6.3数学物理方程定解问题及常用解法综述 203
6.3.1定解问题的适定性 203
6.3.2数学物理方程定解问题常用解法综述 206
6.4三类典型方程的比较与归纳 208
6.4.1三类方程定解问题提法的比较 208
6.4.2三类方程的小结和解的性质的比较 210
6.5广义解的概念 215
6.5.1广义解的提出 215
6.5.2调和方程狄里克莱问题的广义解 216
习题 220
7偏微分方程数值解 222
7.1引言 222
7.2有限差分方法的基本概念 222
7.2.1有限差分近似 222
7.2.2差分格式的相容性、收敛性和稳定性 228
7.2.3判定差分格式稳定性的常用方法 234
7.3抛物型方程的差分解法 244
7.3.1常系数抛物方程的主要差分格式 244
7.3.2主要差分格式的稳定性 248
7.3.3初边值问题条件的差分处理 253
7.4双曲型方程的差分解法 255
7.4.1一阶双曲型方程差分格式 255
7.4.2一阶双曲型方程组差分格式 262
7.4.3二阶双曲型方程差分格式 264
7.5椭圆型方程的差分解法 267
7.5.1拉普拉斯方程的有限差分法 267
7.5.2泊松方程差分格式 269
7.5.3差分格式的性质 271
7.5.4边界条件的处理 273
7.6有限元法初步 276
7.6.1变分原理 276
7.6.2里茨法 277
7.6.3伽辽金法 280
7.6.4有限元的特点 281
习题 282
附录Ⅰ正交函数系及一般展开概念 285
Ⅰ.1正交函数系概念 285
Ⅰ.2简单正交系的例 286
Ⅰ.3函数的展开 287
Ⅰ.4正交系的完备性 287
Ⅰ.5双变量正交系·二重傅里叶级数 289
附录Ⅱ第一类和第二类贝塞尔函数表 291
附录Ⅲ贝塞尔函数的零点表 291
附录Ⅳ勒让德多项式 292
附录Ⅴ傅里叶变换简表 294
附录Ⅵ拉普拉斯变换简表 296
参考文献 300