绪论 高等代数的内容、方法和意义 1
预备章 集论语言·数域 6
1 集合 6
2 映射 8
2.1 映射的概念 8
2.2 映射的合成 9
3 数学归纳法 11
4 整数算术 15
4.1 整除的概念 15
4.2 最大公因数 15
4.3 算术基本定理 16
5 数环和数域 17
第一章 矩阵 20
1 消元法 20
2 矩阵的运算 25
2.1 矩阵的实例和记号 25
2.2 矩阵的运算 28
2.3 矩阵的转置 32
3 可逆矩阵初等矩阵 35
3.1 可逆矩阵的概念 35
3.2 初等变换与初等矩阵 36
3.3 求逆矩阵的初等变换法 39
4 分块矩阵 42
4.1 矩阵的分块形式 42
4.2 分块矩阵的运算 43
4.3 分块矩阵的初等变换 46
应用参考1 电力系统潮流计算中结点阻抗矩阵的分块公式 49
5 解题探索1 52
5.1 特殊矩阵 52
5.2 交换性问题 53
5.3 初等变换与可逆矩阵 54
第二章 行列式 59
1 行列式的定义 59
1.1 排列的奇偶性 59
1.2 n阶行列式的定义 61
2 行列式的性质 65
3 行列式的定理 70
3.1 乘法定理 70
3.2 按一行（列）展开定理 72
3.3 Laplace展开定理 75
阅读参考1 关于行列式的定义 79
4 行列式的算法 80
4.1 基本算法 80
4.2 化简技巧 84
4.3 辅助算法 85
5 行列式的应用 89
5.1 逆矩阵的行列式公式 89
5.2 Cramer法则 90
应用参考2 三角形面积的行列式公式 93
6 矩阵的秩 97
6.1 矩阵秩的概念 97
6.2 矩阵秩的分块方法 99
7 解题探索2 102
7.1 行列式计算一题多解例析 102
7.2 含Schur补的行列式公式、秩公式 104
7.3 Cauchy-Binet公式 105
第三章 线性方程组理论 110
1 n维列（行）向量张成的向量空间 110
1.1 向量空间Fn 110
1.2 Fn的线性子空间 113
2 向量的线性相关性 115
2.1 线性相关与线性无关的概念 115
2.2 替换定理 119
3 维数、秩及其应用 121
3.1 基和维数 122
3.2 矩阵的行秩和列秩 124
3.3 线性方程组解的两个基本问题 124
4 线性方程组解的结构 127
4.1 齐次线性方程组情形 127
4.2 非齐次线性方程组情形·线性流形 131
5 线性方程组理论的几何应用 135
5.1 诸平面过一条直线问题 135
5.2 四点共圆问题 136
5.3 一般二次曲线方程的求解 137
5.4 空间五点的Cayley定理和应用 138
应用参考3 平板的受热问题 142
6 广义逆矩阵 144
6.1 Moore-Penrose型广义逆 144
6.2 （1）-逆对线性方程组的应用 147
阅读参考2 两类线性矩阵方程的通解 149
7 解题探索3 150
7.1 矩阵的奇异性问题 151
7.2 矩阵的列空间与零空间 153
7.3 矩阵的满秩分解及其应用 154
阅读参考3 幂等、对合矩阵的相似化简 156
综合应用1 投入产出方法选介 158
第四章 多项式环 165
1 一元多项式环 165
1.1 一元多项式环的概念 165
1.2 多项式的次数 167
阅读参考4 环的概念 169
2 整除的概念 170
2.1 带余除法 171
2.2 整除的概念 172
3 最大公因式 175
3.1 最大公因式的概念 175
3.2 互素多项式 179
阅读参考5 最小公倍式 182
4 因式分解定理 183
4.1 不可约多项式的概念 183
4.2 唯一分解定理 184
4.3 重因式 187
5 多项式函数 190
5.1 一元多项式函数 190
5.2 多项式的根 193
5.3 函数定义与形式定义的一致性 194
应用参考4 多项式在建模中的应用 196
6 复数域和实数域上多项式 199
6.1 C上多项式的因式分解 199
6.2 R上多项式的因式分解 202
6.3 Viète定理 204
阅读参考6 多项式根计算的两个定理 207
7 有理数域上多项式 209
7.1 可约性及其判别 210
7.2 有理根的求解 213
阅读参考7 Kronecker定理 217
8 多元多项式环 218
8.1 多元多项式环的概念 218
8.2 多元多项式的表示 221
8.3 多元多项式的函数 226
9 对称多项式 228
9.1 对称多项式的基本定理 228
9.2 一元多项式根的对称多项式 235
阅读参考8 多元多项式的因式分解 237
10 二元高次方程组 239
10.1 结式的概念 239
10.2 二元高次方程组的求解 241
11 解题探索4 245
11.1 整除问题的解法 245
11.2 最大公因式问题 247
11.3 因式分解问题 250
11.4 多项式函数、根的问题 251
第五章 二次型 253
1 二次型的矩阵表示 253
1.1 二次型的矩阵 253
1.2 矩阵合同的概念 255
2 化二次型为标准形 257
2.1 配平方方法 257
2.2 矩阵合同变换方法 260
3 C、R上二次型的规范形 265
3.1 复二次型的规范形 265
3.2 惯性定理 266
阅读参考9 对因式分解的应用 270
4 正定二次型 274
4.1 正定二次型的概念 274
4.2 正定矩阵 275
4.3 其它类型的实二次型注记 278
应用参考5 二次型对解极值问题的应用 279
5 解题探索5 283
5.1 合同化简·惯性定理 283
5.2 正定、半正定问题 285
5.3 行列式不等式 287
第六章 向量空间 291
1 向量空间的概念 291
1.1 定义公理·例子 291
1.2 简单性质 293
1.3 子空间 295
阅读参考10 关于向量空间的定义 297
2 向量的线性相关性 300
2.1 基本概念 300
2.2 替换定理 302
2.3 C（n-1）［a,b］中向量的线性相关性 305
3 基、维数、坐标 307
3.1 基与维数 308
3.2 坐标 311
3.3 子空间的维数 312
4 基变换与坐标变换 314
4.1 基变换 314
4.2 坐标变换公式 316
5 子空间的运算 319
5.1 交与和 319
5.2 直和 324
阅读参考11 商空间 328
6 解题探索6 330
6.1 基与维数 330
6.2 子空间的运算·直和 332
6.3 子空间复盖 334
第七章 线性映射·线性变换 336
1 线性映射的概念 336
1.1 定义与例子 336
1.2 值域与核 340
1.3 向量空间的同构 341
2 线性映射的运算 343
2.1 基本运算及其代数系统 343
2.2 线性变换的多项式 346
3 线性映射（线性变换）的矩阵表示 350
3.1 矩阵表示定理 350
3.2 矩阵相似的概念 354
4 特征值、特征向量与特征多项式 356
4.1 定义与求法 356
4.2 Hamilton-Cayley定理 361
5 可对角化的矩阵 365
5.1 特征向量的性质 365
5.2 可对角化矩阵的刻画 366
应用参考6 可对角化矩阵的应用两例 372
6 不变子空间 377
6.1 定义与例子 377
6.2 线性变换矩阵的化简 378
6.3 线性映射的零度和秩 380
6.4 空间分解定理 382
阅读参考12 关于幂零变换的空间分解 385
7 解题探索7 389
7.1 值域与核 389
7.2 特征值、特征向量和特征多项式 391
7.3 不变子空间 393
7.4 对角化、三角化问题 394
第八章 矩阵相似标准形 398
1 λ-矩阵的相抵化简 398
1.1 λ-矩阵的概念 398
1.2 λ-矩阵的相抵标准形 399
2 不变因子·相似准则 404
2.1 唯一性—不变因子 404
2.2 矩阵相似的条件 407
3 有理标准形及其应用 411
3.1 有理标准形 411
3.2 最小多项式 413
阅读参考13 矩阵对合分解的条件 416
4 初等因子·Jordan标准形 419
4.1 初等因子 419
4.2 Jordan标准形 423
应用参考7 相似标准形在微分方程组中的应用 427
5 解题探索8 429
5.1 最小多项式 429
5.2 Jordan块的若干变化规律 430
5.3 与A可交换的矩阵 432
5.4 矩阵有群逆的刻画 433
阅读参考14 矩阵函数 435
第九章 Euclid空间·酉空间 440
1 Euclid空间的概念 440
1.1 定义与例子 440
1.2 度量性概念 442
1.3 n维Euclid空间的度量矩阵 446
阅读参考15 赋范空间 448
2 标准正交基 449
2.1 正交向量组的性质 450
2.2 标准正交基 451
2.3 n维Euclid空间的同构 454
3 正交子空间 457
3.1 正交和 457
3.2 正交补 457
3.3 应用：最小二乘法 460
4 正交变换 464
4.1 正交变换的概念 464
4.2 n维Euclid空间的正交变换 465
4.3 几何空间中正交变换的类型 466
5 对称变换 470
5.1 对称变换的刻画 470
5.2 对称变换的化简 472
5.3 应用：二次型的正交合同（相似）化简 475
阅读参考16 正规变换 478
6 酉空间及其特殊线性变换 481
6.1 酉空间 481
6.2 酉变换和对称变换 482
6.3 Hermite型 483
7 解题探索9 486
7.1 内积技巧 486
7.2 正交变换 489
7.3 对称变换 490
8 矩阵的奇异值分解 494
8.1 矩阵的正交对角分解 494
8.2 矩阵的奇异值与奇异值分解 495
8.3 矩阵正交相抵的概念 499
应用参考8 在系统描述和辨识中的应用 500
第十章 双线性函数 505
1 对偶空间 505
1.1 线性函数 505
1.2 对偶空间 507
1.3 双重对偶空间 510
2 双线性函数 514
2.1 定义与例子 514
2.2 度量矩阵 515
2.3 非退化情形 517
3 对称、反对称双线性函数 519
3.1 基本概念 519
3.2 对称双线性函数的化简 520
3.3 对称双线性函数与二次函数的关系 522
3.4 反对称双线性函数的化简 523
阅读参考17 线性函数的张量积 526
4 具有对称、反对称双线性函数的向量空间 530
4.1 正交空间 530
4.2 辛空间 537
阅读参考18 群·Erlangen纲领 542
参考文献 548