第1章 集合 1
1.1集合的直观概念 1
1.2集合的基本关系 2
1.2.1包含关系 2
1.2.2相等关系 3
1.2.3真包含 4
1.2.4欧拉图 4
1.2.5维恩图 5
1.2.6集合的定义 6
1.3空集 8
1.3.1空集的概念 8
1.3.2不相交集 9
1.4集合上的布尔运算 10
1.4.1交集 10
1.4.2并集 11
1.4.3差集与补集 14
1.5广义并集与广义交集 16
1.6幂集 18
1.7部分重要的数字集合 20
第2章 关系 23
2.1序偶、笛卡尔积和关系 23
2.1.1序偶 23
2.1.2笛卡尔积 25
2.1.3关系 27
2.2关系表和关系图 29
2.2.1关系表 29
2.2.2关系图 30
2.3关系运算 31
2.3.1逆运算 31
2.3.2关系并运算 32
2.3.3关系的合运算 33
2.3.4象／象集 36
2.4自反性与传递性 37
2.4.1自反性 37
2.4.2传递性 38
2.5等价关系与划分 39
2.5.1对称 39
2.5.2等价关系 40
2.5.3划分 41
2.5.4划分与等价关系之间的对应 43
2.6顺序相关关系 44
2.6.1偏序 44
2.6.2线性有序 45
2.6.3严格有序 46
2.7关系的闭合 48
2.7.1关系传递闭包 48
2.7.2关系条件下集合闭包 49
第3章 函数 53
3.1何为函数 53
3.2函数运算 55
3.2.1定义域与值域 55
3.2.2象、限制与闭包 56
3.2.3合成 58
3.2.4逆 59
3.3单射、满射与双射 60
3.3.1单射 60
3.3.2满射 61
3.3.3双射函数 62
3.4应用函数比较大小 63
3.4.1等量原理 63
3.4.2比较原理 64
3.4.3归档原理 65
3.5常用函数 67
3.5.1恒等函数 67
3.5.2常（值）函数 67
3.5.3投影函数 68
3.5.4特征函数 68
3.5.5集合族 68
3.5.6序列 69
第4章 归纳与递归 73
4.1归纳与递归 73
4.2应用正整数的简单归纳进行证明 74
4.2.1实例 74
4.2.2隐藏在实例后的原理 75
4.3应用自然数的简单递归进行定义 78
4.4预测递归定义的函数 80
4.5累积归纳和递归 81
4.5.1返回多单元的递归式定义 81
4.5.2应用累积归纳进行证明 83
4.5.3同时归纳与递归 84
4.6结构递归与归纳 86
4.6.1结构递归法定义集合 86
4.6.2应用结构归纳法进行证明 89
4.6.3应用结构递归法在定义域上定义函数 90
4.6.4结构递归法进行函数定义的条件 91
4.6.5何时唯一分解条件失效 93
4.7良基集上的归纳与递归 94
4.7.1良基集 94
4.7.2应用良基归纳法进行证明时的定理 95
4.7.3应用良基递归法在定义域上定义函数 97
4.8递归程序 98
第5章 组合学 102
5.1两条基本原理：加法和乘法 102
5.2两条基本原理的联合运用 105
5.3从n个对象中选出k个项目的4种方法 106
5.4排列与组合的计算公式 110
5.4.1排列的计算公式（O+R—） 111
5.4.2组合的计算公式（O—R—） 112
5.5有重排列与有重组合的计算公式 116
5.5.1有重排列计算公式（O+R+） 116
5.5.2有重组合计算公式（O—R+） 117
5.6重排及划分 119
5.6.1重排 119
5.6.2给定数字格局下的划分计算 121
第6章 概率 126
6.1有限概率空间 126
6.1.1基本定义 126
6.1.2概率函数的性质 128
6.2基本哲学原理及应用 130
6.3一些简单问题 132
6.4条件概率 135
6.5插曲之辛普森悖论 141
6.6独立性 142
6.7贝叶斯定理 145
6.8随机变量与期望值 147
6.8.1随机变量 148
6.8.2期望值 148
6.8.3诱导概率分布 150
6.8.4采用诱导概率函数表示期望值 151
第7章 存储数学：树 156
7.1第一棵树 156
7.2有根树 158
7.3标记树 164
7.4插曲：无括号表示法 167
7.5二叉查找树 168
7.6无根树 173
7.6.1无根树的定义 173
7.6.2无根树的性质 174
7.6.3寻找生成树 177
第8章 命题逻辑 180
8.1何为逻辑 180
8.2结果的结构特征 181
8.3真值函数连接词 185
8.4同义反复 188
8.4.1命题逻辑语言 189
8.4.2赋值（分配）与赋值函数 189
8.4.3永真蕴含（重复蕴含） 190
8.4.4重复等价（同义反复等价） 192
8.4.5永真式与永假式（矛盾） 195
8.5标准型（范式）、最小字母集与最大模块性 198
8.5.1析取范式 198
8.5.2合取范式 201
8.5.3去除冗余字母（文字） 202
8.5.4最大模表示 204
8.6语义分解树 206
8.7自然演绎 210
8.7.1约束 210
8.7.2二级（亦称间接）推理 212
第9章 量化逻辑 221
9.1量词语言 221
9.1.1实例 221
9.1.2语言的系统表述 223
9.1.3自由与约束 227
9.2基本的逻辑等价 228
9.3量化逻辑的语义学 230
9.3.1解释 231
9.3.2在解释下评价条件 231
9.3.3在解释下评价公式的初始条件 232
9.3.4在解释下评价公式的递归步骤 232
9.3.5量词的x-变体解释 232
9.3.6量词的替代解释 235
9.4逻辑结论 237
9.5带有量词的自然演绎／推理 243