第一章 问题解决 1
第一节 问题解决——数学教育与数学学习的革命 1
第二节 问题与问题解决 4
2.1 什么是问题？ 4
2.2 问题与习题 6
2.3 问题解决 10
第三节 问题解决的心理分析 12
3.1 问题解决的心理机制 12
3.2 波利亚的解题四步骤与“怎样解题表” 15
3.3 舍菲尔德的问题解决流程图 21
3.4 阿达玛的数学发明创造的过程 26
第四节 影响问题解决的要素 29
第五节 数学问题解决中的迁移 40
第六节 数学思想方法产生于数学问题解决 43
第二章 数学思想方法 52
第一节 猜证结合思想 56
1.1 基本观点与解题策略 56
1.2 证明推理与基本证明方法 63
1.3 综合法与分析法 68
1.4 比较法 76
1.5 穷举法、数学归纳法 91
1.6 反证法、举反例 101
1.7 数学猜想与基本猜想方法 112
1.8 特殊化与一般化 117
1.9 类比法 131
1.10 归纳法 142
习题一 157
第二节 分类与分步思想 161
2.1 基本观点与解题策略 161
2.2 分类讨论与反分类 163
2.3 分步解决与反分步 180
习题二 193
第三节 化归思想 196
3.1 基本观点与解题策略 196
3.2 等价转化法 197
3.3 不等价转化法 202
3.4 分合法 207
3.5 特殊化法 213
3.6 构造法 216
3.7 映射法 218
3.8 递归模式 221
习题三 226
第四节 数形结合思想 228
4.1 基本观点与解题策略 228
4.2 坐标法 229
4.3 向量法 237
4.4 复数法 242
4.5 图解法 246
习题四 253
第五节 函数与方程思想 255
5.1 基本观点与解题策略 255
5.2 笛卡儿模式 257
5.3 条件组模式 270
5.4 判别式法 279
5.5 基本函数模型方法 288
5.6 构造函数与方程 298
5.7 换元法 310
5.8 参数法 320
习题五 332
第三章 数学思想方法与数学竞赛 337
第一节 解题原理 337
1.1 抽屉原理 338
1.2 奇偶性原理 344
1.3 同余原理 349
1.4 排序原理 356
1.5 极端原理 360
习题一 365
第二节 解题方法 369
2.1 构造法 369
2.2 染色法 375
2.3 赋值法 380
2.4 逐步调整法 385
习题二 390
第四章 应用问题与开放问题 398
第一节 应用问题 398
1.1 数学模型方法 399
1.2 应用问题举例 401
习题一 414
第二节 开放问题 417
2.1 开放问题的特点 417
2.2 开放问题的求解举例 420
习题二 426