Ⅰ 预备知识 1
第一章 变分原理及基本BANACH空间 3
第一节 变分原理 3
一、Banach空间的若干概念 3
二、非线性映射的微分 7
三、极值问题 8
四、山路引理 10
第二节 H？LDER空间与Lp空间 12
一、H？lder连续函数空间 12
二、Lp空间 13
三、Brezis-Lieb引理 14
第三节 SOBOLEV空间 16
一、整数阶Sobolev空间 16
二、Sobolev嵌入定理 18
三、齐次Sobolev空间Dm,p 20
四、分数阶Sobolev空间 21
五、有界变差函数 22
第四节 对称重排 LORENTZ空间 29
一、函数的对称重排 29
二、Lorentz空间 37
第五节 BMO空间与HARDY空间 40
一、BMO与VMO空间 40
二、Hardy空间H1 42
Ⅱ 有界区域上的非线性椭圆方程 45
第二章 BREZIS-NIRENBERG模型 47
第一节 BREZIS-NIRENBERG模型 47
一、几何背景 47
二、紧性的丧失 Pohozaev障碍 48
三、变分方法 51
第二节 试验函数及其估计 55
一、情形n？4 56
二、情形n=3 59
第三节 若干相关问题 65
一、带余项的最佳Sobolev不等式 65
二、对称函数的Sobolev嵌入 68
三、区域拓扑的影响 71
第三章 一般临界非线性椭圆方程 77
第一节 变分方法 79
一、存在性的Brezis-Nirenberg判据 79
二、基本估计 87
第二节 各种存在性结论 90
一、情形n？5 90
二、情形n=4 93
三、情形n=3 94
第三节 多解性结论 99
一、极小解及其性质 99
二、非线性特征值问题 100
三、Ambrosetti-Prodi问题 101
Ⅲ 平均曲率型问题 103
第四章 古典PLATEAU问题 105
第一节 平均曲率及相关问题 105
一、平均曲率 105
二、共形参数表示及H-系统 108
第二节 古典PLATEAU问题 110
一、解析表达 110
二、Douglas-Radó方法 111
第五章 H-方程及PLATEAU问题 119
第一节 概述 119
一、背景 120
二、解决途径概述 120
第二节 劣解的存在性 123
一、Dirichlet问题的劣解 123
二、Plateau问题的劣解 131
第三节 DIRICHLET问题的优解 132
一、变分结构 133
二、试验函数及其估计 140
第四节 PLATEAU问题的优解 143
一、极小化能量 144
二、变分区域 146
第五节 正则化及其它技术支持 150
一、正则化 150
二、恒等式与不等式 155
三、各种收敛性 157
Ⅳ 数量曲率型问题 159
第六章 RIEMANN几何简述 161
第一节 RIEMANN流形 161
一、微分流形 161
二、Riemann流形 165
第二节 联络 166
一、仿射联络 166
二、Riemann联络 167
第三节 曲率 168
一、曲率张量 168
二、数量曲率 170
第四节 测地线 171
一、平移 171
二、测地线 171
三、指数映射 172
四、测地法坐标系 172
五、Jacobi场 173
第五节 流形上的微积分 174
一、流形上的微分算子 174
二、流形上的积分 176
三、共形变换 179
第六节 流形上的Sobolev空间 181
一、Sobolev嵌入定理 181
二、Trudinger不等式 183
三、加权函数空间 187
第七章 YAMABE问题 191
第一节 变分方法 193
一、Yamabe不变量λ（M） 193
二、Aubin的判据 196
第二节 共形法坐标系 199
一、度量张量的估计 200
二、共形法坐标系 202
三、Aubin的定理 205
第三节 GREEN函数及其渐近展开 209
一、Green函数 210
二、Green函数的渐近展开 210
三、渐近平坦流形 213
四、Schoen的定理 219
五、Yamabe问题的完结 223
第八章 设定共形数量曲率 225
第一节 二维情形 225
一、情形x(M)<0 226
二、情形x(M)=0 227
三、情形x(M)>0 228
第二节 高维情形 229
一、情形λ（M,g）＜0 230
二、情形λ（M,g）？0 232
第三节 Nirenberg问题 236
一、Kazdan-Warner障碍 237
二、G不变函数K 241
三、拓扑方法 243
Ⅴ 凝聚紧性原理 251
第九章 凝聚紧性原理Ⅰ 253
第一节 经典形式 254
一、L1序列的胎紧 两分与消逝 254
二、核心引理 255
第二节 简约形式 258
一、淡收敛 弱收敛与胎紧收敛 258
二、两分的简约表述 260
第三节 局部紧变分问题举例 262
一、一般原则 262
二、一个简单例子 263
三、平移不变情形 264
四、涉空间变量的情形 267
第十章 凝聚紧性原理Ⅱ 271
第一节 核心引理 271
第二节 最佳HLS常数的极值函数 274
一、关于HLS不等式的几点注记 274
二、极值函数的存在性 276
第三节 最佳SOBOLEV常数 283
一、最佳Sobolev常数 283
二、变分框架 284
三、Dm,p（Rn）中的弱收敛 285
四、极值函数的存在性 287
五、一个全局紧性结论 291
第四节 奇异积分不等式 295
一、Hardy不等式及其推广 295
二、最佳Hardy-Sobolev常数的极值函数 298
三、关HARDY不等式的若干注记 301
附录A 线性二阶椭圆方程 303
一、古典极大值原理 303
二、Schauder估计 304
三、弱解 305
四、弱解的极大值原理 306
五、Lp估计 307
六、流形上的椭圆方程 307
七、弱解的正则性 309
附录B RADON测度 313
一、抽象测度与积分 313
二、Radon测度 317
三、Riesz表示定理 319
四、测度列的收敛 321
五、Hausdorff测度与Sobolev容度 322
附录C 算子插值及其他 325
一、卷积与正则化 325
二、Marcinkiewicz插值算子 326
三、Hardy-Littlewood极大函数 330
四、广义Marcinkiewicz插值定理 335
参考文献 337
索引 350