第1章 复数及复平面 1
1.1 复数及其几何表示 1
1.1.1 复数域与复数的公理化定义 1
1.1.2 复数域是实数域的扩充 2
1.1.3 复数的运算 2
1.1.4 共轭复数 5
1.1.5 复数的几何表示 5
1.1.6 复数的三角表示 6
1.1.7 复球面及无穷大 11
习题1.1 11
1.2 复平面的拓扑 12
1.2.1 初步概念 12
1.2.2 Jordan曲线 13
习题1.2 14
小结 15
复习题 15
第2章 复变函数 17
2.1 复变函数的极限与连续性 17
2.1.1 复变函数的概念 17
2.1.2 复变函数的极限 18
2.1.3 复变函数的连续性 20
习题2.1 22
2.2 解析函数 23
2.2.1 复函数的导数 23
2.2.2 解析的概念 24
2.2.3 复函数可导与解析的条件 25
习题2.2 28
2.3 初等函数 28
2.3.1 初等解析函数 28
2.3.2 初等多值函数 31
习题2.3 40
小结 40
复习题 41
第3章 复变函数的积分 43
3.1 复变函数的积分 43
3.1.1 复积分的定义与性质 43
3.1.2 计算复积分的参数方程法 45
3.1.3 典型例子 46
习题3.1 48
3.2 Cauchy积分定理 49
3.2.1 单连通区域的Cauchy积分定理 49
3.2.2 Cauchy-Goursat积分定理的证明 51
3.2.3 复函数的Newton-Leibniz公式 54
3.2.4 多连通区域上的Cauchy积分定理 56
3.2.5 典型例题 58
习题3.2 59
3.3 Cauchy积分公式 60
3.3.1 解析函数的Cauchy积分公式 60
3.3.2 解析函数的任意阶可导性和Morera定理 61
3.3.3 Cauchy不等式和Liouville定理 63
3.3.4 调和函数 65
习题3.3 66
小结 67
复习题 68
第4章 级数 70
4.1 级数的基本性质 70
4.1.1 复数项级数 70
4.1.2 复变函数项级数 72
4.1.3 幂级数 75
习题4.1 78
4.2 Taylor展式 78
4.2.1 解析函数的Taylor展式 78
4.2.2 解析函数的零点与唯一性 83
习题4.2 85
4.3 Laurent展式 86
4.3.1 解析函数的Laurent展式 86
4.3.2 解析函数的孤立奇点 90
4.3.3 解析函数在无穷远点的性质 94
4.3.4 整函数与亚纯函数的概念 95
习题4.3 96
小结 96
复习题 98
第5章 留数 99
5.1 留数定理 99
5.1.1 孤立奇点的留数 99
5.1.2 留数的计算 100
习题5.1 101
5.2 留数定理的应用 102
5.2.1 用留数定理求积分 102
5.2.2 亚纯函数的零点与极点的个数 105
5.2.3 辐角原理 106
5.2.4 Rouché定理及其应用 108
习题5.2 111
小结 112
复习题 113
第6章 保形映射与解析延拓 115
6.1 单叶解析函数的映射性质 115
6.1.1 单叶解析函数的基本性质 115
6.1.2 导数的几何意义 117
习题6.1 119
6.2 分式线性变换及其映射性质 119
6.2.1 分式线性函数 119
6.2.2 分式线性函数的映射性质 120
习题6.2 125
6.3 最大模原理 125
6.3.1 最大模原理 125
6.3.2 Schwarz引理 125
习题6.3 127
6.4 Riemann定理及边界对应 127
习题6.4 128
6.5 解析延拓 129
6.5.1 解析延拓的概念 129
6.5.2 解析函数元素 129
6.5.3 对称原理 130
6.5.4 用幂级数延拓，奇点 132
习题6.5 134
小结 134
复习题 135
习题答案或提示 137
参考文献 145
索引 146