第一章 数学分析中的几个话题 1
1.1初等数学 1
1.1.1数字，变量和初等函数 1
1.1.2二次与三次方程 5
1.1.3相似图形的面积.以椭圆为例 8
1.1.4二次代数曲线 10
1.2微分和积分运算 14
1.2.1微分法则 14
1.2.2中值定理 15
1.2.3微分形式的不变性 16
1.2.4积分法则 17
1.2.5泰勒级数 17
1.2.6复变量 19
1.2.7函数的近似表达式 21
1.2.8雅可比行列式、函数无关性、多重积分的换元法 22
1.2.9函数的线性无关.朗斯基行列式 23
1.2.10积分 23
1.2.11曲线族的微分方程 24
1.3向量分析 26
1.3.1向量代数 27
1.3.2矢量函数 29
1.3.3向量场 30
1.3.4三个经典的积分定理 31
1.3.5拉普拉斯方程 32
1.3.6行列式的微分 32
1.4微分代数的符号 33
1.4.1微分变量.全微分 33
1.4.2乘积和复合函数的高阶微分 34
1.4.3多元微分函数 34
1.4.4微分方程的空间曲面 35
1.4.5换元法求导 37
1.5变分法 39
1.5.1最小作用量原理 39
1.5.2多元欧拉一拉格朗日方程 40
习题一 40
第二章 数学物理问题 45
2.1导言 45
2.2自然现象 46
2.2.1人口模型 46
2.2.2生态学：放射性的废弃物 47
2.2.3开普勒（kepler）定律，牛顿万有引力定律 48
2.2.4地表的自由落体运动 49
2.2.5流星体 50
2.2.6雨水模型 51
2.3物理学和工程学 52
2.3.1牛顿冷却模型 52
2.3.2机械振动，钟摆 58
2.3.3传动轴的失效 62
2.3.4 van der Pol方程 64
2.3.5电报方程 64
2.3.6电动力学 65
2.3.7狄拉克方程 66
2.3.8流体动力学 67
2.3.9 Navier-Stokes方程 68
2.3.10灌溉系统模型 68
2.3.11磁流体动力学 68
2.4扩散现象 69
2.4.1线性热传导方程 69
2.4.2非线性热传导方程 71
2.4.3 Burgers方程和Korteweg-de Vries方程 71
2.4.4经济学数学模型 72
2.5生物数学 72
2.5.1巧妙的蘑菇 72
2.5.2肿瘤的生长模型 74
2.6波现象 75
2.6.1绳索的微小振动 75
2.6.2振动膜 77
2.6.3极小曲面 79
2.6.4振动细长杆和板 80
2.6.5非线性波 82
2.6.6 Chaplygin和Tricomi方程 83
习题二 84
第三章 常微分方程：经典方法 85
3.1简介和基础方法 85
3.1.1微分方程.初值问题 85
3.1.2方程y（n）＝f（x）的积分 87
3.1.3齐次方程 87
3.1.4齐次性的不同种类 90
3.1.5降阶 91
3.1.6微分线性化 92
3.2一阶方程 92
3.2.1可分离变量方程 92
3.2.2全微分方程 93
3.2.3积分因子（A.Clairaut，1739） 94
3.2.4里卡蒂方程 96
3.2.5伯努利方程 99
3.2.6齐次线性方程 99
3.2.7非齐次线性方程.常数变易法 100
3.3二阶线性方程 102
3.3.1齐次方程：叠加性 102
3.3.2 齐次方程：等价性质 103
3.3.3齐次方程：常系数 106
3.3.4非齐次方程：常数变易法 107
3.3.5贝塞尔方程和贝塞尔函数 111
3.3.6超几何方程 111
3.4高阶线性方程 113
3.4.1齐次方程.基础解系 113
3.4.2非齐次方程.常数变易法 113
3.4.3常系数方程 114
3.4.4欧拉方程 116
3.5一阶方程组 116
3.5.1方程组的一般属性 116
3.5.2首次积分 117
3.5.3常系数的线性方程组 121
3.5.4方程组的常数变易法 123
习题三 125
第四章 一阶偏微分方程 127
4.1简介 127
4.2齐次线性方程 128
4.3非齐次方程的特解 130
4.4拟线性方程 131
4.5齐次方程组 134
习题四 138
第五章 二阶线性偏微分方程 141
5.1多元方程 141
5.1.1固定点的分类 141
5.1.2伴随线性微分算子 143
5.2含两个自变量的方程的分类 145
5.2.1特征值，三种类型方程 145
5.2.2双曲型方程的标准形式 147
5.2.3抛物线型方程的标准形式 148
5.2.4椭圆型方程的标准形式 149
5.2.5混合型方程 150
5.2.6非线性方程的类型 150
5.3包含两个变量的双曲型方程的积分 151
5.3.1 d’Alembert解 151
5.3.2可化为波动方程的等式 152
5.3.3欧拉方法 156
5.3.4拉普拉斯级联法 159
5.4初值问题 161
5.4.1波动方程 161
5.4.2非齐次波动方程 162
5.5混合问题，变量分离 163
5.5.1端部固定的弦的振动 164
5.5.2热传导方程的混合问题 167
习题五 168
第六章 非线性常微分方程 171
6.1简介 171
6.2群变换 172
6.2.1平面上只含一个参数的群 172
6.2.2群生成元和李方程 173
6.2.3指数映射 175
6.2.4不变量和不变方程 176
6.2.5典型变量 179
6.3一阶微分方程的对称性 180
6.3.1群生成元的首次延拓 180
6.3.2对称群的定义和主要性质 181
6.3.3给定对称性的方程 183
6.4利用对称求解一阶微分方程的积分 185
6.4.1李积分因子 185
6.4.2利用典型变量求积分 187
6.4.3不变解系 191
6.4.4由不变解系给出的通解 191
6.5二阶方程 193
6.5.1群生成元的二次延拓.对称的计算 193
6.5.2李代数 195
6.5.3二维李代数的标准形式 197
6.5.4李氏积分法 197
6.5.5已知一个特解的线性方程积分 203
6.5.6李的线性化验证 205
6.6高阶方程 209
6.6.1不变解.欧拉猜想的推导 209
6.6.2积分因子（N.H.Ibragimov，2006） 210
6.6.3三阶方程的线性化 218
6.7非线性叠加 225
6.7.1导言 225
6.7.2非线性叠加的重要定理 227
6.7.3非线性叠加的例子 231
6.7.4使用非线性叠加的方程组积分 239
习题六 240
第七章 非线性偏微分方程 243
7.1对称 243
7.1.1对称群的定义和计算 244
7.1.2解的群变换 248
7.2群不变解 249
7.2.1简介 249
7.2.2 Burgers方程 251
7.2.3一个非线性边值问题 253
7.2.4一个灌溉系统的不变解 256
7.2.5肿瘤生长模型的不变解 257
7.2.6一个非线性光学的例子 259
7.3不变性和守恒定律 261
7.3.1简介 261
7.3.2预备 263
7.3.3诺特定理 265
7.3.4高阶拉格朗日算子 265
7.3.5常微分方程组的守恒定律 266
7.3.6诺特定理的一般化 267
7.3.7来自经典力学的例子 268
7.3.8爱因斯坦能量公式的推导 271
7.3.9狄拉克方程的守恒定律 271
习题七 273
第八章 广义函数或分布 275
8.1广义函数简介 275
8.1.1启发式思考 275
8.1.2分布的定义和举例 277
8.1.3用δ函数表示的极限 278
8.2分布的运算 279
8.2.1函数的乘法 279
8.2.2微分 279
8.2.3分布的直积 279
8.2.4卷积 280
8.3分布△（r 2-n） 281
8.3.1球面上的平均值 281
8.3.2拉普拉斯方程△u（r）＝0的解 282
8.3.3分布△（r2-n）的计算 283
8.4分布的变换 284
8.4.1线性换元法 284
8.4.2 δ函数的换元法 285
8.4.3任意的群变换 286
8.4.4分布的无穷小变换 287
习题八 288
第九章 不变原理和基本解 289
9.1简介 289
9.2不变原理 290
9.2.1不变原理的公式表达 290
9.2.2常系数线性方程的基本解 290
9.2.3拉普拉斯方程的应用 291
9.2.4热传导方程的应用 293
9.3热传导方程的柯西问题 294
9.3.1柯西问题的基本解 294
9.3.2用不变原理求解柯西问题基本解 295
9.3.3柯西问题的解 297
9.4波动方程 297
9.4.1微分形式的初步知识 297
9.4.2相伴齐次方程的分布 301
9.4.3波动方程基本解的对称性定义 303
9.4.4基本解的求解 305
9.4.5柯西问题的解 306
9.5变系数方程 307
习题九 307
参考答案 309
参考文献 319
索引 323