第1章 绪论 1
1.1分数阶微积分的起源与发展 1
1.2分数阶微积分理论研究及其主要应用 4
1.2.1分数阶微积分理论研究 5
1.2.2分数阶微积分应用于描述各种物理系统和材料的动力学行为 5
1.2.3分数阶微积分应用于生物工程 7
1.2.4分数阶微积分应用于动力学系统 8
1.2.5分数阶微积分应用于控制系统 8
1.2.6分数阶微积分应用于信号处理 9
1.3本书的主要内容 11
第2章 分数阶微积分的基本理论 14
2.1分数阶微积分四种常用的时域定义 14
2.1.1 Grunwald-Letnikov定义 14
2.1.2 Riemann-Liouville定义 16
2.1.3 Caputo定义 16
2.1.4特殊函数及其性质 16
2.1.5分数阶Cauchy积分公式 18
2.1.6各分数阶微积分定义的关系 18
2.1.7分数阶微分和积分的关系 19
2.2分数阶微积分三种常用的频域定义 19
2.2.1 Fourier变换域定义 19
2.2.2 Laplace变换域定义 20
2.2.3 Wavelet变换域定义 21
2.3半微分与半积分 23
2.3.1半微分与半积分定义 23
2.3.2半微分与半积分的性质 23
2.3.3常用函数的半微分与半积分的运算结果 24
2.4分数阶微分方程 25
2.5分数阶微积分运算的物理意义与几何意义 27
2.5.1分数阶微积分的物理意义解释 27
2.5.2分数阶微积分的几何意义解释 28
2.6分数阶微积分的自然界实现 29
2.6.1分数阶微积分自然界物质的实现 30
2.6.2分数阶微积分模拟电路实现 30
2.7分数阶微积分的一些应用 32
第3章 连续子波变换数值实现中起始尺度的确定以及信号时间和扫描时间之间的几何关系 34
3.1问题提出 34
3.2连续子波的选择 36
3.3（复）解析母波的尺度采样间隔的推导 36
3.3.1理论分析 36
3.3.2 Morlet母波的尺度采样间隔的确定 38
3.4（实）偶母波的尺度采样间隔的推导 38
3.4.1理论分析 38
3.4.2（实）偶Gauss函数各阶导数解析母波的尺度采样间隔的确定 40
3.4.3（实）偶Gauss函数各阶导数解析母波相应的数字滤波器的波纹系数 42
3.5（实）奇母波的尺度采样间隔的推导 43
3.5.1理论分析 43
3.5.2（实）奇Gauss函数各阶导数解析母波尺度采样间隔和时间平移量的确定 44
3.5.3（实）奇Gauss函数各阶导数解析母波相应的数字滤波器的波动性 45
3.6二进点格采样及二进抽取采样时起始尺度的确定 46
3.7推导连续子波变换中信号时间和扫描时间之间的几何关系 47
3.8本章总结 48
第4章 现代信号分析与处理中分数阶微积分的数值实现 49
4.1问题提出 49
4.2信号分数阶微积分的幂级数算法 51
4.2.1理论分析 51
4.2.2实验仿真及结果分析 53
4.3信号分数阶微积分的Fourier级数算法 53
4.3.1理论分析 54
4.3.2实验仿真及结果分析 57
4.4信号分数阶微分基于Grunwald-Letnikov定义算法 58
4.4.1理论分析 58
4.4.2实验仿真及结果分析 59
4.5信号分数阶微分基于子波变换的算法 61
4.5.1理论分析 61
4.5.2实验仿真及结果分析 64
4.6信号分数阶微分基于子波变换的快速工程算法 65
4.6.1理论分析 65
4.6.2实验仿真及结果分析 66
4.7本章总结 69
第5章 分数阶微积分数字滤波器设计方案 70
5.1引言 70
5.2理想的分数阶微积分数字滤波器 71
5.3经典滤波器设计方法设计分数阶微积分滤波器的缺陷 72
5.3.1加窗函数法设计分数阶微积分数字滤波器 72
5.3.2频率抽取法设计分数阶微积分数字滤波器 74
5.3.3 Chebyshev最佳一致逼近方法设计分数阶微积分运算数字滤波器 75
5.4已有的分数阶微积分数字滤波器设计方法 76
5.4.1有理分式级联法设计IIR分数阶微积分数字滤波器 76
5.4.2基于Taylor级数展开法设计FIR分数阶微积分数字滤波器 77
5.4.3 Tustin算子Muir迭代方法设计IIR分数阶微积分滤波器 79
5.4.4 Al-Alaoui算子连分式展开法设计IIR分数阶微积分滤波器 80
5.4.5 Simpson积分算子与梯形积分算子加权和方法设计分数阶微积分IIR字滤波器 82
5.4.6小结 82
5.5基于sinc函数抽样法设计分数阶微积分数字滤波器方案 83
5.5.1基于sinc函数抽样法设计分数阶微积分数字滤波器理论推导 83
5.5.2 sinc函数及其微分函数高频不增性 84
5.5.3算法仿真实现 84
5.5.4小结 86
5.6基于Pade逼近与连分式展开法设计分数阶微积分数字滤波器 86
5.6.1 Pade逼近法理论 87
5.6.2连分式展开原理 90
5.6.3计算机仿真结果 92
5.6.4与己有分数阶微积分运算数字滤波器设计算法的比较 98
5.6.5小结 99
5.7基于人工神经网络逼近方法设计分数阶微积分数字滤波器 99
5.7.1人工神经网络概要 99
5.7.2基于泛函连接神经网络的逼近方法原理 103
5.7.3指数基函数神经网络设计分数阶微积分运算数字滤波器 104
5.7.4三角函数神经网络设计线性相位分数阶微积分运算数字滤波器 107
5.7.5算法仿真结果 110
5.7.6与已有分数阶微积分运算数字滤波器设计方法的比较 113
5.7.7小结 114
5.8基于遗传算法设计分数阶微积分数字滤波器 114
5.8.1遗传算法简介 115
5.8.2 IIR滤波器设计 117
5.8.3遗传算法优化设计分数阶IIR微积分数字滤波器 117
5.8.4遗传算法参数选择 121
5.8.5遗传算法仿真结果 122
5.8.6与已有分数阶微积分运算数字滤波器设计方法的比较 124
5.8.7小结 126
5.9多种分数阶微积分数字滤波器设计方案的比较 126
5.10本章总结 127
第6章 用无源元件实现分数阶模拟分抗电路 129
6.1问题提出 129
6.2模拟分抗电路的阻抗特性 130
6.2.1一阶R-C电路的微分特性 130
6.2.2模拟分抗电路的阻抗特性 133
6.3构造1／2阶微积分的模拟分抗电路 133
6.3.1经典的树型1／2阶模拟分抗电路 133
6.3.2两回路串联的1／2阶模拟分抗电路 135
6.3.3 H型1／2阶模拟分抗电路 136
6.3.4网格型1／2阶模拟分抗电路 137
6.3.5分析比较四种1／2阶模拟分抗电路 139
6.4构造1／2n阶模拟分抗电路 139
6.4.1 1／4阶模拟分抗电路 139
6.4.2 1／2n阶模拟分抗电路 141
6.4.3分析1／2n阶模拟分抗电路 141
6.5构造任意分数阶模拟分抗电路 142
6.5.1 2／3阶模拟分抗电路 142
6.5.2 1／3阶模拟分抗电路 142
6.6实验仿真及结果分析 143
6.7本章总结 150
第7章 用有源元件实现分数阶模拟分抗电路 151
7.1引言 151
7.2分抗电路实现模型 151
7.2.1分抗元件的定义 152
7.2.2分数阶低通与分数阶高通电路 152
7.3目前已经提出的模拟分抗电路实现方法 154
7.3.1树状结构1／2阶分抗实现 154
7.3.2链状分抗电路实现 155
7.3.3网格型分抗电路实现 156
7.3.4梯形分抗元件实现方案 157
7.3.5小结 157
7.4基于一阶Newton法与加速迭代过程设计分数阶微积分分抗电路 158
7.4.1非线性方程一阶Newton法求根 158
7.4.2 Steffensen加速迭代收敛方法 160
7.4.3 Foster电路综合法与Cauer电路综合法 160
7.4.4仿真设计结果 162
7.4.5与已有设计方法的对比 166
7.4.6小结 167
7.5基于有源OTA器件设计分数阶微积分分抗电路 168
7.5.1树状1／2阶分抗实现方案分析 168
7.5.2电流型跨导运算放大器 173
7.5.3有源OTA器件分数阶微积分运算电路实现方案 174
7.5.4仿真设计误差分析 176
7.5.5与已有设计方案的比较 177
7.5.6小结 177
7.6基于有源OTA器件设计可变阶次分抗电路 178
7.6.1可变阶次分抗电路实现原理 178
7.6.2基于有源OTA器件设计分数阶微分可变阶次分抗 180
7.6.3基于有源OTA器件设计分数阶积分可变阶次分抗 182
7.6.4计算机仿真实现 183
7.6.5与已有的设计方案的比较 186
7.6.6小结 186
7.7本章总结 187
第8章 任意分数阶神经型脉冲振荡器 189
8.1问题提出 189
8.2 1／2阶网格型模拟分抗的等效实现及其电路特性 190
8.2.1 1／2阶网格型模拟分抗的晶体谐振体实现 190
8.2.2 1／2阶网格型模拟分抗的差接变量器实现 191
8.2.3 1／2阶网格型模拟主值分抗的频率特性 193
8.3基于分数阶演算的分数阶神经型振荡器 194
8.4实验仿真及结果分析 195
8.5本章总结 197
第9章 任意分数阶的多层动态联想神经网络的构造 198
9.1问题提出 198
9.2多层动态联想神经网络 199
9.3基于广义Hebb规则的多层动态联想神经网络学习算法 201
9.3.1理论分析 201
9.3.2实验仿真及结果分析 205
9.4构造阶次任意的分数阶多层动态联想神经网络 207
9.4.1理论分析 207
9.4.2实验仿真及结果分析 210
9.5本章总结 212
第10章 分数阶微积分运算在数字水印中的应用 213
10.1分数阶微积分应用概况 213
10.2分数阶微积分运算应用于数字水印系统设计 213
10.2.1引言 213
10.2.2数字水印技术 214
10.2.3分数阶微积分运算对正弦信号的处理 216
10.2.4数字水印系统的实现 217
10.2.5系统性能仿真分析 219
10.2.6小结 224
10.3本章总结 224
第11章 二维数字图像信号分数阶微分的数值实现 226
11.1问题提出 226
11.2分数阶微积分与其他时-频分析之间的关系推导 227
11.3分数阶微积分在信号调制解调方面应用的理论分析 229
11.4分数阶微积分在动力学系统中的物理意义探究 229
11.5图像分数阶微积分的侧抑制原理分析 231
11.5.1马赫带 231
11.5.2侧抑制原理 232
11.5.3视网膜神经节细胞感受野及其数学模型 232
11.5.4侧抑制原理与边缘提取的数学模型 234
11.5.5图像信号分数阶微积分的拮抗特性与纹理细节提取 237
11.6二维数字图像分数阶微分的数值实现 243
11.6.1理论分析 243
11.6.2实验仿真及结果分析 250
11.7分数阶微分在边缘检测中的应用 263
11.7.1基于分数阶图像增强算子的两种边缘检测方法 263
11.7.2基于分数阶微分的CRONE边缘检测算子 265
11.7.3 CRONE算子性能分析 268
11.7.4基于差分的分数阶边缘检测算子 271
11.8基于分数阶积分的图像平滑 274
11.8.1分数阶积分的差分定义 274
11.8.2实验结果分析 275
11.9本章总结 277
参考文献 279
跋 295