第一章Γ函数 1
1定义 1
1.1欧拉常数 1
1.2无穷积表示 2
1.3极限表示 4
2性质 4
2.1差分方程 4
2.2乘积公式 7
2.3二倍公式 7
3广义积分表示 9
3.1第二种欧拉积分 9
3.2与Γ（z）的关系 13
3.3实部为负数 16
3.4围道积分 18
4用〔t〕构造的函数 22
4.1实数的整数部分 22
4.2函数g（t）的积分 23
4.3进一步求积分 25
4.4欧拉求和公式 27
5史斗林公式 28
5.1常用公式 28
5.2改进公式 35
5.3 Γ（z+λ）/Γ（z）的估计 36
5.4当|y|→∞时，|Γ（x+iy）|的估计 37
5.5华力斯公式 38
6 Γ函数的图形 39
6.1x＞0部分 39
6.2 x＜0部分 40
7 B函数 42
7.1第一种欧拉积分 42
7.2与Γ函数的关系 44
习题一 48
第二章 超越几何函数 51
1超越几何级数 51
1.1收敛半径 51
1.2在收敛圆上 53
1.3 F（a，b;c;1）的值 54
2积分表示 59
2.1广义积分表示 59
2.2围道积分 62
3高斯微分方程 68
3.1高斯微分方程的解 68
3.2解的另一形式 70
3.3解的线性关系 71
4相邻超越几何函数 76
4.1近邻 76
4.2远邻 80
5级数的变换 81
5.1二重级数的重排 81
5.2线性变换 86
5.3平方变换 89
6广义超越几何函数 101
6.1定义 101
6.2性质 103
6.3沙儿修兹恒等式 104
6.4菲浦利定理 105
习题二 109
第三章 勒襄特多项式的定义及性质 112
1根式的选取 112
1.1对数的单值分支 112
1.2平方根 113
1.3根式1-2zt+t2 114
2定义 116
2.1 Pn （z）的明显表示 116
2.2在一些特殊点处的值 118
2.3 Pn（cosθ）的表达式 119
3递推公式 122
3.1纯粹递推公式 122
3.2含有导数的递推公式 123
3.3勒襄特微分方程 125
4导数表示 126
4.1洛巨里格公式 126
4.2幂级数反演 128
4.3对称表示 130
4.4 Pn （z）为勒襄特微分方程解的又一证明 131
4.5零点 132
5母函数 134
5.1定义 134
5.2白特门母函数 135
5.3含有复参数c的母函数 136
习题三 139
第四章 积分表示 141
1拉伯拉斯积分表示 141
1.1围道积分 141
1.2拉伯拉斯第一积分 141
1.3拉伯拉斯第二积分 145
2 Pn（cosθ）的积分表示 153
2.1麦留积分 153
2.2司帝吉斯积分 162
3三角级数表示 167
3.1正弦级数 167
3.2司帝吉斯展开式 174
4超越几何函数表示 176
4.1展成1-z的多项式 176
4.2用zn乘以1/zn的多项式表示 178
4.3用（z-1）n乘以z+1/z-1的多项式表示 180
4.4用zn乘以z2-1/z2的多项式表示 181
习题四 181
第五章 定积分及导数 183
1定积分的值 183
1.1∫z2z1Pm（z）Pn（z）dz的值 183
1.2正交性 184
1.3∫10Pm（x）Pn（x）dx的值 185
1.4∫z2z1P2m（z）dz的值 185
1.5多项式的勒襄特线性表示 187
1.6∫1-1znPm（z）dz的值 188
1.7∫1-tP′n（z）Pm（z）dz的值 191
1.8∫10{xPn（x）}2dx的值 193
1.9∫1-1（1-2xh＋h2）-1/2Pn（x）dx的值 194
1.10∫10（1-x2） {P′n （x） }2dx的值 196
1.11∫π0Pn（cosθ）cosnθdθ的值 197
2广义积分 198
2.1∫1-1Pn （x）/（1-x）ωdx（0＜ω＜1）的值 198
2.2∫1-1Pn（x）log（1-x）dx的值 199
2.3∫10x-1/2Pn（x）dx的值 200
3导数 202
3.1 Pn（r）（1）的值 202
3.2 Pn（r）（cosθ）的表达式 203
3.3 Pn（r）（0）的值 205
3.4 Pn（r）T（z）用勒襄特多项式乘积的和表示 206
4一种正交多项式 207
4.1正交性 207
4.2∫1-1？2（x）dx的值 209
4.3一些性质 209
习题五 210
第六章 零点的分布 213
1 Pn（cosθ）的零点分布 213
1.1布劳史不等式 213
1.2凸序列 221
1.3史瑞果不等式 226
2 Pn （x）的零点分布 231
2.1凸序列 231
2.2 Pn （x）与Pn-1（x）的零点分隔 232
2.3 xv，n与xv，n-1的距离 235
2.4 Pn （x）的最大正零点与1的距离 243
2.5 | Pnn （x） |的极大值 247
习题六 250
第七章 不等式 251
1杜拉不等式 251
1.1叙述 251
1.2史瑞果的证明 251
1.3爱畏达的证明 258
1.4△n（x）的一些性质 261
1.5△n（x）的上界 262
1.6 y=△n（x）的图形 266
1.7南裘帝阿的结果 267
2二阶行列式 268
2.1符记的引进 268
2.2富赛茨不等式 268
2.3在（0，1）中变号的情形 274
2.4在1＜x＜∞的情形 280
3伯恩斯坦不等式 283
3.1费玖的证明 283
3.2伯恩斯坦的证明 293
3.3马里克的证明 297
3.4一个类似的不等式 298
4 Pn （z）在有沟z面的估计 300
4.1符记 300
4.2当x＞1时，Pn （x）的估计 301
4.3当α＞0时，Pn {cosh （α + iβ）}的估计 304
4.4伯恩斯坦方法 305
习题七 309
第八章 渐近表示 311
1 Pn（cosθ）的渐近表示 311
1.1拉伯拉斯渐近表示 311
1.2司帝吉斯渐近表示 317
2 Pn （z）的达颇克渐近表示 325
2.1简单表示 325
2.2一般表示 333
习题八 340
第九章 两种勒襄特函数 341
1第一种勒襄特函数 341
1.1定义 341
1.2微分方程 342
1.3递推公式 343
2第二种勒襄特函数 345
2.1定义 345
2.2 Wn-1（z）的勒襄特线性表示 350
2.3 Qn （z）的超越几何函数表示 352
3 Qn （z）的积分表示 360
3.1类石勒夫里积分表示 360
3.2类拉伯拉斯积分表示 363
3.3牛曼积分表示 367
3.4马克洛培特积分表示 372
4 Qn（z）的性质 375
4.1递推公式 375
4.2与Pn（z）的关系 377
4.3 Q′n（z）与P′n（z）的关系 379
习题九 380
第十章 连带勒襄特函数 382
1定义 382
1.1在有沟z面的定义 382
1.2在-1＜x＜1中的定义 385
1.3导数表示 386
1.4P2n（x） 391
2递推公式 392
2.1对上标m的递推公式 392
2.2对下标n的递推公式 392
2.3含有导数的递推公式 393
3定积分 396
3.1正交性 396
3.2平方的积分 398
3.3积分∫1-1x/1-x2Pmn（x）Pmn+1（x）dx 401
4积分表示 404
4.1雅谷比引理 404
4.2 Pmn （z）的积分表示 406
4.3 Qmn （z）的积分表示 411
5勒襄特多项式的加法公式 415
5.1一个恒等式 415
5.2加法公式 416
习题十 422
第十一章 勒襄特级数 423
1函数的勒襄特级数表示 423
1.1克瑞斯脱费求和公式 423
1.2展开定理 425
1.3跳跃间断点 430
2杂例 433
2.1牛曼展开式 433
2.2卡他兰展开式 443
3改进 445
3.1黎曼定理 445
3.2定理1的改进 447
4勒襄特级数的性质 451
4.1绝对收敛 451
4.2开区间（-1， 1） 452
4.3 S（x）取正值 454
5积分定理 460
5.1 0＜ω＜1 460
5.2 1≤ω＜2 474
5.3 p≤ω＜p+1 481
习题十一 487
第十二章 收敛椭圆 488
1展开定理 488
1.1海涅公式 488
1.2牛曼展开定理 493
1.3椭圆环形域 495
2收敛域 499
2.1收敛参数 499
2.2简单性质 500
2.3与幂级数的联系 502
3奇点 507
3.1极点 507
3.2奇点的位置 513
4解析点 520
4.1两个例子 520
4.2法都定理 522
5自然边界 528
5.1简单的例子 528
5.2空隙定理 531
5.3卢辛例子 543
6极限性质 544
6.1亚倍尔定理 544
6.2刀培定理 550
7求和 557
7.1一般公式 557
7.2极点 559
习题十二 564
第十三章 整函数 566
1阶与型 566
1.1阶 566
1.2型 567
1.3例子 567
1.4多项式 568
2系数与滋长 570
2.1系数模的n次根 570
2.2系数模的比 580
3型函数 582
3.1零阶整函数 582
3.2 p阶整函数 589
4极大项 598
4.1定义 598
4.2 v（α）的性质 599
4.3.μ （α）的性质 602
4.4阶与型 607
4.5无穷阶 614
5正则滋长 618
5.1下阶与下型 618
5.2空隙定理 622
5.3完全正则滋长 625
习题十三 630
第十四章 雅谷比多项式 632
1超越几何级数表示 632
1.1定义 632
1.2对称表示 633
1.3首项系数 634
2母函数 635
2.1一个超越几何函数构成的母函数 635
2.2白特门母函数 636
3导数表示 637
3.1-1＜x＜1 637
3.2 z为复变数 638
3.3一个简单相邻关系 639
4定积分 640
4.1微分方程 640
4.2正交性 641
4.3∫1-1（1-x）α（1＋x）β{Pn（α，β） （x） }2dx 642
4.4∫1-1（1-x）α（1＋x）βxkPn（α,β）（x）dx 644
4.5∫1-1（1-x）α（1＋x）β/（1-x）ωPn（α，β）（x）dx 645
5递推公式 647
5.1 （1-z）n的雅谷比多项式线性表示 647
5.2含有导数的递推公式 650
5.3纯粹递推公式 652
5.4混合递推公式 654
6零点 659
6.1单零点 659
6.2零点的位置 660
6.3最大正零点与1的距离 663
7模的估计 667
7.1α＞-1/2，β＞-1/2 667
7.2α=β=-1/2 668
7.3 α≥-1/2，-1＜β＜-1/2以及α＞-1/2，β＝-1/2 669
7.4-1＜α＜-1/2，β≥-1/2以及α=-1/2，β＞-1/2 670
8雅谷比级数 670
8.1积分定理 671
8.2多项式Pnα,β（x） 675
习题十四 679
第十五章 超球多项式 681
1定义及性质 681
1.1定义 681
1.2递推公式 681
1.3多项式的超球线性表示 682
2盖根堡多项式 685
2.1定义 685
2.2与超球多项式的关系 687
2.3一些特殊值 688
3 Cγn（z）的各种表示 689
3.1用z与（z2-1）的不同幂乘积表示 689
3.2超球几何函数表示 690
3.3积分表示 692
3.4导数表示 694
4 Cγn （z）的性质 694
4.1母函数 694
4.2递推公式 696
4.3正交性 697
4.4 Cγn（cosθ）的表达式 698
4.5微分方程 699
4.6积分定理 699
5广义勒襄特多项式 701
5.1定义 701
5.2性质 703
习题十五 709
第十六章 应用 711
1调和函数 711
1.1拉伯拉斯偏微分方程 711
1.2球体调和函数 713
1.3球面调和函数 719
2定解问题 721
2.1狄立赫利问题 721
2.2对z轴对称 727
3其它应用 731
3.1定积分的近似值 731
3.2无理性 733
习题十六 735
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