第一篇 高等数学 1
第一章 函数 极限 连续 1
1函数 1
Ⅰ考点精讲 1
一、定义 1
二、重要性质、定理、公式 4
Ⅱ例题精讲 5
一、求分段函数的复合函数 5
二、由函数的奇偶性与周期性构造函数 7
三、求反函数的表达式 7
四、关于函数有界（无界）的讨论 9
2极限 10
Ⅰ考点精讲 10
一、定义 10
二、重要性质、定理、公式 12
三、计算极限的一些有关方法 13
Ⅱ例题精讲 16
一、求函数的极限 16
二、已知极限值求其中的某些参数，或已知极限求另一与此有关的某极限 22
三、含有|x|，e 1／x的x→0时的极限，含有取整函数［x］的x趋于整数时的极限 25
四、无穷小的比较 26
五、数列的极限 27
六、极限运算定理的正确运用 31
3函数的连续与间断 34
Ⅰ考点精讲 34
一、定义 34
二、重要性质、定理、公式 35
Ⅱ例题精讲 36
一、讨论初等函数或抽象函数的连续与间断 36
二、在连续条件下求参数 38
三、连续函数的零点问题 39
模考题训练 40
模考题训练答案与提示 42
第二章 一元函数微分学 43
1导数与微分，导数的计算 43
Ⅰ考点精讲 43
一、定义 43
二、重要性质、定理、公式 44
Ⅱ例题精讲 47
一、按定义求一点处的导数 47
二、已知f（x）在某点x=x0处可导，求与此有关的某极限或其中某参数，或已知某极限求f（x）在x=x0处的导数 49
三、绝对值函数的导数 55
四、由极限式表示的函数的可导性 56
五、导数与微分、增量的关系 57
六、求导数的计算题 57
2导数的应用 60
Ⅰ考点精讲 60
一、定义 60
二、重要性质、定理、公式与方法 61
Ⅱ例题精讲 63
一、增减性、极值、凹凸性、拐点的讨论 63
二、渐近线 67
三、曲率与曲率圆 68
四、最大值、最小值问题 69
3中值定理、不等式与零点问题 70
Ⅰ考点精讲 70
一、重要定理 70
二、重要方法 72
Ⅱ例题精讲 73
一、不等式的证明 73
二、f（x）的零点与f’（x）的零点问题 78
三、复合函数ψ（x，f（x），f′（x））的零点 81
四、复合函数ψ（x，f（x），f′（x），f″（x））的零点 82
五、“双中值”问题 83
六、零点的个数问题 83
七、证明存在某ξ满足某不等式 85
八、lim f’（x） x→x0与f’（x0）的关系 86
九、f’（x）与f（x）的一些极限性质的关系 87
模考题训练 88
模考题训练答案与提示 91
第三章 一元函数积分学 93
1不定积分与定积分的概念、性质、理论 93
Ⅰ考点精讲 93
一、定义 93
二、重要性质、定理、公式 94
Ⅱ例题精讲 96
一、分段函数的不定积分与定积分 96
二、定积分与原函数的存在性 99
三、奇、偶函数、周期函数的原函数及变限积分 100
2不定积分与定积分的计算 103
Ⅰ考点精讲 103
一、基本积分公式 103
二、基本积分方法 104
Ⅱ例题精讲 107
一、简单有理分式的积分 107
二、三角函数的有理分式的积分 108
三、简单无理式的积分 109
四、两种不同类型的函数相乘的积分 110
五、被积函数中含有导数或变限函数的积分 112
六、对称区间上的定积分，周期函数的定积分 113
七、含参变量带绝对值号的定积分 115
3反常积分及其计算 116
Ⅰ考点精讲 116
一、定义 116
二、重要性质、定理、公式 117
Ⅱ例题精讲 119
一、反常积分的计算 119
二、关于奇、偶函数的反常积分 120
三、关于反常积分敛散性的判定 122
4定积分的应用 123
Ⅰ考点精讲 123
一、基本方法 123
二、重要几何公式与物理应用 124
Ⅱ例题精讲 126
一、几何应用 126
二、物理应用 129
5定积分的证明题 132
Ⅰ考点精讲 132
Ⅱ例题精讲 133
一、讨论变限积分所定义的函数的奇偶性、周期性、极值、单调性等 133
二、由积分定义的函数求极限 135
三、积分不等式的证明 137
四、零点问题 142
模考题训练 145
模考题训练答案与提示 148
第四章 向量代数与空间解析几何 151
1向量代数 151
Ⅰ考点精讲 151
一、定义 151
二、重要性质、定理、公式 152
Ⅱ例题精讲 154
一、给出一些关系求另一些关系 154
二、以向量平行、垂直、交成定角、模等为条件，求某些量 156
三、三点共线与三向量共面问题 157
四、以坐标给出的问题 158
2平面与直线 159
Ⅰ考点精讲 159
一、平面方程 159
二、直线方程 159
三、平面、直线间的关系与距离公式 160
Ⅱ例题精讲 160
一、求平面方程 161
二、求直线方程 163
三、平面、直线之间的有关问题 165
3空间曲面与曲线 167
Ⅰ考点精讲 167
一、曲面的方程与常见曲面 167
二、空间曲线的方程 169
三、空间曲线在坐标面上的投影 169
Ⅱ例题精讲 170
一、与投影有关的问题 170
二、求曲面及空间曲线 171
模考题训练 172
模考题训练答案与提示 173
第五章 多元函数微分学 175
1多元函数的极限、连续、偏导数与全微分 175
Ⅰ考点精讲 175
一、定义 175
二、重要性质、定理、公式 178
Ⅱ例题精讲 180
一、讨论二重极限 180
二、讨论偏导数存在性，函数的连续性 181
三、讨论函数的可微性 183
四、求初等函数的偏导数 184
五、外层为抽象函数时的复合函数求偏导数（重点） 185
六、求隐函数的偏导数 189
七、求全微分或利用全微分求一阶（偏）导数 191
2极值与最值 193
Ⅰ考点精讲 193
一、定义 193
二、重要性质、定理、公式 193
Ⅱ例题精讲 195
一、关于抽象函数的极值问题 195
二、极值与最值的计算题 196
三、最值的应用问题 197
3方向导数、梯度、曲面的切平面、曲线的切线 199
Ⅰ考点精讲 199
一、定义 199
二、重要性质、定理、公式 199
Ⅱ例题精讲 201
一、有关方向导数 201
二、有关曲面的切平面、曲线的切线 203
三、与最值结合的题 204
模考题训练 207
模考题训练答案与提示 209
第六章 多元函数积分学 211
1二重积分，三重积分，第一型线、面积分 211
Ⅰ考点精讲 211
一、定义 211
二、重要性质、定理、公式 212
Ⅱ例题精讲 214
一、二重积分在直角坐标中的计算 214
二、直角坐标系中交换积分次序（重点内容） 215
三、极坐标系中二重积分的计算与极直互化 216
四、具有某种对称性的二重积分的计算（重点） 218
五、关于轮换对称的二重积分 220
六、关于分块函数（具有绝对值号的函数，具有最值号的函数，具有取整值的函数）的二重积分的计算 221
七、二重积分的证明题（二重积分化为定积分的证明题，二重积分（二次积分）不等式的证明） 224
八、三重积分在直角坐标中的计算 227
九、三重积分在柱面坐标、球面坐标中的计算 230
十、第一型曲线积分与第一型曲面积分的计算 232
十一、应用 235
2平面第二型曲线积分 238
Ⅰ考点精讲 238
一、定义 238
二、重要性质、定理、公式 239
Ⅱ例题精讲 242
一、用参数式计算（基本方法） 242
二、封闭曲线格林公式法 243
三、加、减弧段格林公式法（重点） 243
四、路径无关选路法，利用原函数求曲线积分 244
五、复连通域内封闭曲线积分 247
六、与路径无关相关联的问题 249
七、带绝对值号的函数的曲线积分 250
八、应用 251
3第二型曲面积分与空间第二型曲线积分的计算 252
Ⅰ考点精讲 252
一、定义 252
二、重要性质、定理、公式 253
Ⅱ例题精讲 255
一、投影计算法（基本方法） 255
二、封闭曲面高斯公式法 257
三、加、减曲面片高斯公式法（重点） 257
四、化成第一型曲面积分计算，或转换投影法计算 259
五、挖洞法 263
六、与？P／？x+？Q／？y+？R／？z=0有关联的问题 263
七、第二型曲面积分关于奇、偶性与对称性的题 264
八、曲面积分的综合题 265
九、空间第二型曲线积分的计算 266
模考题训练 267
模考题训练答案与提示 272
第七章 无穷级数 273
1数项级数 273
Ⅰ考点精讲 273
一、定义 273
二、重要性质、定理与公式 274
Ⅱ例题精讲 277
一、正项级数敛散性的判别 277
二、交错级数或任意项级数的敛散性的判别，条件收敛与绝对收敛 283
三、敛散性判别法的选择题 286
2幂级数 290
Ⅰ考点精讲 290
一、定义 290
二、重要性质、定理与公式 292
Ⅱ例题精讲 296
一、关于幂级数的收敛半径、收敛区间与收敛域的题 296
二、函数展开成幂级数 299
三、简单幂级数∞∑n=0 anxn求和 304
四、幂级数与微分方程有关的题 307
五、利用幂级数求某些数项级数的和 309
3傅里叶级数 310
Ⅰ考点精讲 310
一、定义 310
二、重要性质、定理、公式 310
Ⅱ例题精讲 312
一、函数展开为傅里叶级数 312
二、给出f（x），要求它的傅里叶级数在某指定点的收敛和 313
模考题训练 314
模考题训练答案与提示 318
第八章 微分方程 319
1微分方程的概念，一阶与可降阶的二阶方程的解法 319
Ⅰ考点精讲 319
一、定义 319
二、几种特殊类型的一阶微分方程及其解法 320
Ⅱ例题精讲 324
一、识别类型，对号入座，按类型求解（基本题） 324
二、与全微分方程（或与路径无关）有关的问题 325
三、积分方程化为微分方程求解 326
四、偏微分方程化为常微分方程求解 329
五、某些很特殊的函数方程化成微分方程求解 331
2二阶及高阶线性微分方程 331
Ⅰ考点精讲 331
一、定义 331
二、重要性质、定理、公式 332
Ⅱ例题精讲 334
一、识别类型，对号入座，按类型求解 334
二、用变量代换解微分方程 336
三、自由项为分段函数或含有绝对值号的非齐次线性微分方程求解 339
四、写出常系数线性非齐次方程的特解形式 340
五、已知方程的解求方程 340
六、一般二阶线性非齐次微分方程的解与对应齐次方程的解的关系 342
七、欧拉方程求解 343
3微分方程的应用 343
Ⅰ考点精讲 343
一、几何问题 343
二、变化率问题 344
三、牛顿第二定律或运动等问题 346
四、微元法建立微分方程 347
模考题训练 348
模考题训练答案与提示 350
第二篇 线性代数 353
第一章 行列式 353
1 n阶行列式的定义 353
Ⅰ考点精讲 353
Ⅱ例题精讲 354
2行列式的性质、展开定理及n阶行列式的计算 356
Ⅰ考点精讲 356
一、定义 356
二、重要定理 356
三、行列式的性质 356
四、本章与后续章节有关的重要公式与结论 357
Ⅱ例题精讲 358
一、低阶行列式的计算 358
二、n阶行列式计算技巧介绍 361
三、行列式表示的函数、方程 367
四、关于余子式和代数余子式 370
五、抽象矩阵的行列式 371
六、行列式的证明题 371
3克莱姆法则 373
Ⅰ考点精讲 373
Ⅱ例题精讲 374
模考题训练 376
模考题训练答案与提示 378
第二章 矩阵 379
1矩阵的概念及基本运算 379
Ⅰ考点精讲 379
一、定义 379
二、矩阵的运算规则 380
三、特殊矩阵 381
Ⅱ例题精讲 381
一、方阵的幂 381
二、矩阵乘法的可交换性 384
三、对称阵和反对称阵 385
2矩阵的逆 387
Ⅰ考点精讲 387
一、定义 387
二、重要定理 387
三、运算性质 387
四、求逆矩阵的方法 388
Ⅱ例题精讲 389
一、证明A可逆及求A-1的方法 389
二、伴随矩阵 393
三、矩阵方程 395
3初等变换与初等矩阵 398
Ⅰ考点精讲 398
一、定义 398
二、初等矩阵与初等变换的性质 399
Ⅱ例题精讲 399
一、初等变换、初等矩阵 399
二、矩阵的秩和等价矩阵 401
4分块矩阵 403
Ⅰ考点精讲 403
一、定义 403
二、分块矩阵的运算 403
Ⅱ例题精讲 405
一、分块矩阵的乘积 405
二、分块矩阵的逆 407
三、分块矩阵的行列式 408
模考题训练 408
模考题训练答案与提示 410
第三章 向量 413
1向量组的线性相关性 413
Ⅰ考点精讲 413
一、定义 413
二、重要定理 414
三、向量的基本运算 415
Ⅱ例题精讲 415
一、线性相关性的判别 415
二、向量的线性表示 417
三、向量组线性无关的证明 419
2秩 422
Ⅰ考点精讲 422
一、定义 422
二、重要定理 422
三、有关秩的等式和不等式 423
Ⅱ例题精讲 424
3向量空间 428
Ⅰ考点精讲 428
一、定义 428
二、重要定理 429
三、施密特（Schmidt）标准正交化方法 430
Ⅱ例题精讲 431
模考题训练 434
模考题训练答案与提示 435
第四章 线性方程组 437
1齐次线性方程组 437
Ⅰ考点精讲 437
一、定义 437
二、重要定理 438
三、基础解系和通解的求法 438
Ⅱ例题精讲 439
一、线性方程组的求解 439
二、方程组解向量的判别，解的性质 444
三、基础解系 445
四、AX=0的系数行向量和解向量的关系，由AX=0的基础解系反求A 446
2非齐次线性方程组 448
Ⅰ考点精讲 448
一、定义 448
二、重要定理 448
三、非齐次线性方程组AX=b通解的求法 449
Ⅱ例题精解 449
一、非齐次线性方程组的求解 449
二、非齐次线性方程组解的判别 452
三、非齐次线性方程组有解的条件 453
四、AX=b的通解结构 454
五、非齐次线性方程组系数列向量与解向量的关系 455
六、两个方程组的公共解 457
七、同解方程组 459
模考题训练 462
模考题训练答案与提示 464
第五章 特征值、特征向量、相似矩阵 467
1特征值、特征向量 467
Ⅰ考点精讲 467
一、定义 467
二、特征值的性质 467
三、求特征值、特征向量的方法 468
Ⅱ例题精讲 468
2相似矩阵、矩阵的相似对角化 476
Ⅰ考点精讲 476
一、定义 476
二、重要定理 476
三、相似矩阵的性质及相似矩阵的必要条件 477
Ⅱ例题精讲 477
3实对称矩阵的相似对角化 483
Ⅰ考点精讲 483
一、定义 483
二、重要定理 483
三、实对称矩阵正交相似于对角阵的步骤 483
Ⅱ例题精讲 484
模考题训练 492
模考题训练答案与提示 494
第六章 二次型 497
1二次型的定义、矩阵表示，合同矩阵 497
Ⅰ考点精讲 497
一、定义 497
二、二次型的矩阵表示 498
Ⅱ例题精讲 499
2化二次型为标准形、规范形、合同二次型 501
Ⅰ考点精讲 501
一、定义 501
二、重要定理 501
三、二次型化标准形、规范形的方法 502
Ⅱ例题精讲 502
3正定二次型、正定矩阵 512
Ⅰ考点精讲 512
一、定义 512
二、重要定理 512
Ⅱ例题精讲 513
模考题训练 521
模考题训练答案与提示 522
第三篇 概率统计 525
第一章 随机事件和概率 525
1事件、样本空间、事件间的关系与运算 525
Ⅰ考点精讲 525
一、定义 525
二、重要性质、定理、公式 529
三、事件和概率的计算 530
Ⅱ例题精讲 532
一、随机事件间关系及运算 532
二、概率，条件概率，独立 533
三、全概率公式和贝叶斯公式 534
四、古典概型与伯努利概型 537
模考题训练 539
模考题训练答案与提示 541
第二章 随机变量及其概率分布 543
1随机变量及其分布函数 543
Ⅰ考点精讲 543
一、定义 543
二、分布函数性质 543
Ⅱ例题精讲 544
2离散型随机变量和连续型随机变量 545
Ⅰ考点精讲 545
一、定义 545
二、分布律和概率密度的性质 545
Ⅱ例题精讲 546
3常用分布 548
Ⅰ考点精讲 548
一、定义 548
二、重要性质 550
Ⅱ例题精讲 551
4随机变量函数的分布 553
Ⅰ考点精讲 553
一、离散型随机变量的函数分布 553
二、连续型随机变量的函数分布 553
Ⅱ例题精讲 553
模考题训练 555
模考题训练答案与提示 557
第三章 多维随机变量及其分布 559
1二维随机变量及其分布 559
Ⅰ考点精讲 559
一、定义 559
二、重要性质 563
Ⅱ例题精讲 564
2随机变量的独立性 566
Ⅰ考点精讲 566
一、定义（随机变量的独立性） 566
二、充要条件 567
Ⅱ例题精讲 569
3二维均匀分布和二维正态分布 571
Ⅰ考点精讲 571
一、定义 571
二、重要性质 572
Ⅱ例题精讲 573
4两个随机变量函数的分布 574
Ⅰ考点精讲 574
一、二维离散型随机变量函数的概率分布的求法与一维离散型类似 574
二、二维连续型随机变量函数Z=g（X，Y）的分布的求法，可用公式 574
三、重要性质 575
Ⅱ例题精讲 575
模考题训练 576
模考题训练答案与提示 579
第四章 随机变量的数字特征 581
1随机变量的数学期望和方差 581
Ⅰ考点精讲 581
一、定义 581
二、重要性质，公式 582
Ⅱ例题精讲 586
2矩、协方差和相关系数 590
Ⅰ考点精讲 590
一、定义 590
二、重要性质、公式 591
Ⅱ例题精讲 592
模考题训练 594
模考题训练答案与提示 596
第五章 大数定律和中心极限定理 599
Ⅰ考点精讲 599
一、切比雪夫不等式 599
二、依概率收敛 599
三、切比雪夫大数定律 599
四、伯努利大数定律 600
五、辛钦大数定律 600
六、棣莫弗—拉普拉斯定理 600
七、列维—林德伯格定理 600
Ⅱ例题精讲 600
模考题训练 602
模考题训练答案与提示 603
第六章 数理统计的基本概念 605
1总体、样本、统计量和样本数字特征 605
Ⅰ考点精讲 605
一、定义 605
二、样本数字特征性质 607
Ⅱ例题精讲 607
2常用统计抽样分布和正态总体的抽样分布 608
Ⅰ考点精讲 608
一、定义 608
二、重要性质 609
三、一个正态总体的抽样分布 610
四、两个正态总体的抽样分布 610
Ⅱ例题精讲 611
模考题训练 613
模考题训练答案与提示 615
第七章 参数估计 617
1点估计 617
Ⅰ考点精讲 617
Ⅱ例题精讲 618
2估计量的求法和区间估计 619
Ⅰ考点精讲 619
一、矩估计法 619
二、矩估计法步骤 620
三、最大似然估计法 620
四、似然方程 620
五、区间估计 621
Ⅱ例题精讲 623
模考题训练 625
模考题训练答案与提示 627
第八章 假设检验 629
Ⅰ考点精讲 629
一、实际推断原理 629
二、假设检验 629
三、两类错误 629
四、显著性检验 630
五、正态总体参数的假设检验 630
Ⅱ例题精讲 631
模考题训练 634
模考题训练答案与提示 636