第四章 度量空间 1
4.1度量空间的基本概念 2
1.引言 2
2.距离的定义 3
3.极限的概念 5
4.常见度量空间 6
习题4.1 11
4.2线性空间上的范数 12
1.线性空间 13
2.例 15
3.赋范线性空间 17
4.凸集 20
5.商空间 21
习题4.2 22
4.3空间LP 23
1.LP上的范数 23
2.平均收敛与依测度收敛的关系 28
3.空间L∞（E， μ） 29
4.数列空间lP 31
习题4.3 32
4.4度量空间中的点集 32
1.内点、开集 33
2.极限点、闭集 35
3.子空间的开集和闭集 39
4.联络点集、区域 40
5.点集间的距离 41
6.n维欧几里得空间中的Borel集 42
7.赋范线性空间中的商空间 42
习题4.4 44
4.5连续映照 45
1.连续映照和开映照 45
2.闭映照 48
3.连续曲线 50
习题4.5 50
4.6稠密性 52
1.稠密性的概念 52
2.可析点集 54
3.疏朗集 55
习题4.6 56
4.7完备性 57
1.完备性的概念 57
2.某些完备空间 59
3.完备空间的重要性质 62
4.度量空间的完备化 65
习题4.7 68
4.8不动点定理 68
1.压缩映照原理 68
2.应用 74
习题4.8 77
4.9致密集 79
1.致密集的概念 79
2.致密集和完全有界集 81
3.某些具体空间中致密点集的特征 84
4.紧集 87
5.紧集上的连续映照 89
6.有限维赋范线性空间 90
7.凸紧集上的不动点定理 94
习题4.9 96
4.10拓扑空间和拓扑线性空间 98
1.拓扑空间 98
2.拓扑线性空间 106
第五章 有界线性算子 108
5.1有界线性算子 108
1.线性算子与线性泛函概念 108
2.线性算子的有界性与连续性 111
3.有界线性算子全体所成的空间 116
习题5.1 121
5.2连续线性泛函的表示及延拓 123
1.连续线性泛函的表示 123
2.连续线性泛函的延拓 129
3.泛函延拓定理的应用 137
4.测度问题 143
习题5.2 145
5.3共轭空间与共轭算子 148
1.二次共轭空间 148
2.算子序列的收敛性 149
3.弱致密性（弱列紧性） 153
4.共轭算子 155
习题5.3 157
5.4逆算子定理和共鸣定理 158
1.逆算子定理 158
2.共鸣定理 165
3.共鸣定理的应用 167
习题5.4 172
5.5线性算子的正则集与谱，不变子空间 175
1.特征值与特征向量 175
2.算子的正则点与谱点 178
3.不变子空间 191
习题5.5 195
5.6关于全连续算子的谱分析 196
1.全连续算子的定义和基本性质 196
2.全连续算子的谱 202
3.全连续算子的不变闭子空间 208
习题5.6 213
第六章 Hilbert空间的几何学与算子 215
6.1基本概念 215
1.内积与内积空间 216
2.Hilbert空间 218
习题6.1 222
6.2投影定理 223
1.直交和投影 223
2.投影定理 225
习题6.2 229
6.3内积空间中的直交系 231
1.就范直交系 231
2.直交系的完备性 234
3.直交系的完全性 239
4.线性无关向量系的直交化 241
5.可析Hilbert空间的模型 242
习题6.3 244
6.4共轭空间和共轭算子 246
1.连续线性泛函的表示 246
2.共轭空间 247
3.共轭算子 247
4.有界自共轭算子 252
习题6.4 253
6.5投影算子 256
1.投影算子的定义和基本性质 256
2.投影算子的运算 259
3.投影算 265
子与不变子空间 265
习题6.5 267
6.6双线性Hermite泛函与自共轭算子 269
1.双线性Hermite泛函 269
2.有界二次泛函 273
习题6.6 275
6.7谱系、谱测度和谱积分 275
1.几个例 275
2.谱测度 278
3.谱系 284
4.谱系和谱测度的关系 287
习题6.7 291
6.8酉算子的谱分解 293
1.酉算子的定义 293
2.酉算子的谱分解 295
3.相应于酉算子的谱测度 303
4.L2-Fourier变换 305
5.平稳随机序列 307
6.平移算子 308
习题 6.8 313
6.9自共轭算子的谱分解 315
1.引言 315
2.共轭算子 316
3.对称算子与自共轭算子 320
4.Cayley变换 323
5.无界函数谱积分 330
6.自共轭算子的谱分解定理 333
7.函数模型 338
8.全连续自共轭算子 342
习题6.9 343
6.10正常算子的谱分解 345
1.正常算子 345
2.乘积谱测度 347
3.正常算子的谱分解 350
4.算子代数 352
习题6.10 353
6.11算子的扩张与膨胀 354
1.闭扩张 354
2.半有界算子的自共轭扩张 358
3.广义谱系的扩张谱系 365
4.压缩算子的酉膨胀 378
习题6.11 378
第七章 广义函数 382
7.1基本函数与广义函数 382
1.引言 382
2.基本函数空间 384
3.局部可积函数空间 386
4.广义函数空间 388
习题7.1 390
7.2广义函数的性质与运算 391
1.广义函数的导函数和广义函数列的极限 391
2.广义函数的原函数 395