第1章 绪论——纵观古今，面向未来 1
1 数学的重要性 1
1.数学与对知识的探求 1
2.数学的重要性 2
3.两种文化的融合 3
4.指导思想 3
2 数学史上的关键时期 5
1.五个质不同的时期 5
2.四个高峰期 8
3.七次飞跃 8
3 数学的特点与教育价值 9
1.数学的特点 9
2.数学的教育价值 11
4 如何学 12
1.鉴赏力 12
2.致广大而尽精微 12
3.澄其源而清其流 13
4.循序渐进 13
5.笛卡儿的方法论 14
6.以简驭繁 15
7.从师、读书与讨论 15
8.验证与总结 15
9.刻苦努力——不受一番冰霜苦，哪有梅花放清香 16
第2章 数学文化的源头 17
1 数学文化的源头 18
2 希腊人的哲学观及其影响 19
1.数学的真理性 19
2.柏拉图与亚里士多德 19
3.柏拉图、亚里士多德与西方文化 21
3 古代希腊的天文学 22
1.早期的地心说 22
2.日心说的提出 23
3.第一次科学大综合 23
4 从经验数学到演绎数学 24
1.经验数学 24
2.希腊人对数学思想的贡献 25
3.演绎几何的诞生 26
5 演绎数学 28
1.演绎法的结构 28
2.演绎推理的地位 29
3.合情推理与论证推理 30
6 希腊数学的重要成果 30
1.毕达哥拉斯学派发现无理数 30
2.正多边形作图 31
3.圆锥曲线 32
4.阿基米德的数学成就 33
5.三角术的创立 33
7 留给后人的难题 34
1.关于无理数 34
2.几何作图三大问题 34
第3章 现代科学的发端 36
1 科学方法 36
1.培根与归纳法 37
2.笛卡儿与演绎法 38
3.归纳法与演绎法 38
4.伽利略的科学规划 39
5.三大要素 40
2 科学的数学化 40
1.宇宙的和谐 40
2.近代科学的黎明——哥白尼革命 41
3.哥白尼体系的真理性 42
3 天体力学的诞生 42
1.开普勒的三定律 43
2.开普勒的天文学与正多面体 44
4 牛顿力学的建立 46
1.牛顿面临的问题 46
2.苹果、月亮和万有引力 47
3.奇妙的预测 50
第4章 绘画艺术与几何学 52
1 科学与艺术 52
1.美与真 52
2.异同比较 53
3.相互依存 53
2 绘画与数学 54
1.绘画与科学 54
2.新的时代，新的艺术 54
3.引入第三维 55
4.数学的引入 56
5.艺术家丢勒 58
6.数学定理 59
7.从艺术中诞生的科学 61
3 完美的结合，艺术的顶峰 62
1.文艺复兴早期的绘画 62
2.盛期文艺复兴三杰 65
3.风景画 69
第5章 数的扩充史 70
1 数的基本知识 70
1.两种知识 71
2.数的用途 71
3.五个主要阶段 71
4.十进位制 72
5.印度-阿拉伯记数法 72
6.数的几何表示——数轴与复平面 72
2 关键进展 73
1.新的语言 73
2.无理数的诞生 74
3.0的发现 74
4.负数的引入 74
5.数与代数方程 75
6.复数 75
7.代数数与超越数 76
8.希尔伯特第七问题 77
3 新的数系 77
1.四元数的诞生 77
2.四元数的性质 79
3.矩阵 80
4.超限数 80
4 可数集 82
1.势的概念 82
2.有理数集是可数的 83
5 数系的公理化 84
1.皮亚诺的五条公理 85
2.有理数的定义 85
3.有理数的两条重要性质 85
4.实数的定义 86
第6章 解析几何概要 88
1 两个基本概念 88
1.解析几何的诞生 88
2.两个基本概念 89
2 圆锥曲线 90
1.希腊数学的顶峰 90
2.椭圆、双曲线、抛物线 90
3.二次曲线的光学性质 92
4.观测宇宙 95
3 化二次方程为标准形 96
1.九种标准形 96
2.坐标变换 97
3.化二次方程为标准形 98
4 向量代数 99
1.向量 99
2.向量的加减法与数乘 100
3.向量的坐标表示 100
4.数量积和它的性质 101
5 应用与意义 102
1.解析几何解决的主要问题 102
2.解析几何的伟大意义 104
第7章 微积分发展史 107
引言 107
1.目的 107
2.概观 108
3.分期 108
1 希腊时期 109
1.数的学问 109
2.芝诺的四个悖论 109
3.欧多克苏斯和比例 110
4.面积与穷竭法 110
5.阿基米德的平衡法 112
2 酝酿时期 114
1.方法的变革 114
2.开普勒的工作 114
3.不可分素方法 115
4.微分学的早期史 117
5.巴罗的贡献 119
6.前期史小结 119
3 诞生和发展时期 120
1.发现和洞见 120
2.牛顿对微积分的主要贡献 121
3.莱布尼茨对微积分的主要贡献 121
4.18世纪的进展 121
5.第二次数学危机 122
6.待解决的问题 125
4 严格化时期 125
1.函数概念 125
2.布尔查诺的贡献 126
3.柯西的工作 126
4.分析的算术化 127
第8章 傅里叶分析与音乐 130
1 音律的确定 130
1.古希腊音律的确定 131
2.中国古代对音律的贡献 133
3.十二平均律 133
2 数学与音乐的进一步联系 135
1.梅森的定律 135
2.伟大的傅里叶 135
3.简谐振动 136
4.弹簧的振动 137
5.傅里叶定理 139
6.大自然的统一性 141
7.麦克斯韦的功绩 142
8.小结 142
第9章 非欧几何的诞生及影响 143
1 欧氏几何回顾 143
1.欧氏几何的内容 143
2.欧氏几何的历史地位 145
3.《几何原本》在中国 145
2 非欧几何的缘起 146
1.平行公设引起的思考 146
2.从《几何原本》的诞生到18世纪 146
3.非欧几何的孕育时期 147
3 非欧几何的确立 149
1.非欧几何的诞生 149
2.罗巴切夫斯基的解答 150
3.一个全新的世界 152
4.双曲几何的相容性 153
4 椭圆几何 155
1.黎曼的非欧几何 155
2.球面几何 156
3.欧氏几何与非欧几何比较 156
5 新的里程碑 157
1.非欧几何诞生的意义 157
2.微分几何 158
3.爱尔兰根纲领 159
4.几何学的进一步发展 160
6 非欧几何学与艺术 161
1.艺术中的教学家 161
2.双曲几何学与艺术 161
第10章 重温代数学 163
1 符号代数的发展 163
1.文字阶段 163
2.简写阶段 164
3.符号阶段 164
2 代数学发展的三个不同时期 166
1.代数学的诞生 166
2.代数方程式论 167
3.代数结构 168
3 代数方程式论 168
1.方程式论 168
2.代数基本定理 169
3.根与系数的关系——韦达定理 170
4.五次以上的代数方程 170
4 三次代数方程与四次代数方程 171
1.单位根 171
2.化为缺项的方程 172
3.三次代数方程的解 173
4.解的确定 174
5.三次代数方程解法小结 175
6.四次代数方程解法概要 175
5 群和域 175
1.群的定义 175
2.置换群 179
3.对称中的对称——子群 180
4.域的概念 181
5.伽罗瓦理论 181
6 代数与古典几何名题 183
1.几何中的三大经典问题 183
2.化为代数问题 184
3.三大经典问题不可解的证明 185
第11章 数学的广阔用场 187
1 数学与自然科学 187
1.电磁现象 188
2.物理学新的里程碑 189
3.概率论与太空旅行 192
4.化学 193
5.生物科学 194
2 数学与人文科学 197
1.人文科学与数学教育的历史 197
2.数学和人文科学之间的桥梁 198
3.数理语言学 199
4.选票分配问题 200
5.文学与统计学 202
6.诺贝尔经济学奖与数学 204
7.数学与西方政治 204
参考书目 207