第六章 解线性方程组的迭代法 1
1 迭代法的基本理论 1
2 Jacobi 迭代法和 Gauss-Seidel 迭代法 5
2.1 Jacobi 迭代法 5
2.2 Gauss-Seidel 迭代法 8
3 逐次超松弛迭代法(SOR方法) 12
3.1 SOR 方法 12
3.2 SOR 方法的收敛性 15
3.3 相容次序、性质 A 和最佳松弛因子 16
3.4 SOR 方法的收敛速度 28
4 Chebyshev 半迭代法 29
4.1 半迭代法 29
4.2 Chebyshev 半迭代法 31
5 共轭斜量法 36
5.1 一般的共轭方向法 36
5.2 共轭斜量法 40
6 条件预优方法 50
7 迭代改善方法 54
习题 56
第七章 线性最小二乘问题 60
1 线性方程组的最小二乘解 60
2 广义逆矩阵 64
3 直交分解 66
3.1 Gram-Sehmidt 直交化方法 66
3.2 直交分解和线性方程组的最小二乘解 70
3.3 Householder 变换 74
3.4 列主元 QR 方法 80
4 奇异值分解 81
5 数据拟合 83
6 线性最小二乘问题 87
7 Chebyshev 多项式在数据拟合中的应用 90
习题 95
第八章 矩阵特征值问题 99
1 乘幂法 99
1.1 乘幂法 99
1.2 乘幂法的加速 106
1.3 求模数次大诸特征值的降阶法 108
1.4 逆迭代法(反乘幂法) 111
2 计算实对称矩阵特征值的同时迭代法 114
3 计算实对称矩阵特征值的 Jacobi 方法 116
3.1 Givens 平面旋转矩阵 117
3.2 Jacobi 方法及其收敛性 118
3.3 实用的 Jacobi 方法及其计算步骤 119
4 Givens-Householder 方法 121
4.1 实对称矩阵的三对角化 121
4.2 计算实对称三对角矩阵特征值的二分法 132
5 QR 方法 136
5.1 基本的 QR 方法 136
5.2 带原点平移的 QR 方法 139
6 广义特征值问题 141
6.1 问题 Ax＝λBx 的特征值 142
6.2 问题 ABx＝λx 的特征值 143
6.3 问题 Ax＝λBx 和 ABx＝λx 的特征向量 144
习题 144
第九章 解非线性方程组的数值方法 146
1 多变元微积分 146
1.1 Gateaux 导数 146
1.2 Frechet 导数 149
1.3 高阶导数 151
1.4 Riemann 积分 153
2 不动点迭代 156
3 Newton 法 160
3.1 Newton 法 160
3.2 修正 Newton 法 165
4 割线法 166
5 拟 Newton 法 171
5.1 Broyden 方法 171
5.2 DFP 方法和 BFS 方法 175
6 下降算法 176
习题 178
第十章 常微分方程初值问题的数值解法 181
1 引言 181
2 离散变量法和离散误差 182
3 单步法 186
3.1 Euler 方法 186
3.2 改进的 Euler 方法 190
3.3 Runge-Kutta 方法 193
3.4 自适应 Runge-Kutta 方法 201
3.5 Richardson 外推法 205
4 单步法的相容性、收敛性和稳定性 206
4.1 相容性 206
4.2 收敛性 207
4.3 稳定性 210
5 多步法 213
5.1 线性多步法 213
5.2 Adams 方法 214
5.3 预测-校正方法 219
5.4 Hamming 方法 223
5.5 稳式公式的迭代解法 227
6 差分方程简介 228
6.1 线性差分方程 229
6.2 常系数线性差分方程 233
7 线性多步法的相容性、收敛性和数值稳定性 237
7.1 相容性 237
7.2 收敛性 238
7.3 稳定性 239
7.4 绝对稳定性 244
8 常微分方程组和高阶微分方程的数值解法 247
8.1 微分方程组 247
8.2 高阶微分方程 250
习题 252
第十一章 常微分方程边值问题的数值解法 258
1 差分方法 258
1.1 解线性微分方程第一边值问题的差分方法 259
1.2 解线性微分方程第二、第三边值问题的差分方法 263
1.3 非线性问题 265
2 打靶法 267
习题 270
第十二章 函数逼近 272
1 函数逼近问题 272
2 最佳一致逼近 274
3 最佳平方逼近 280
习题 286
参考文献 288