第一章 物理学中的分形现象 1
1.1 相变和临界指数 1
1.2 湍流涡旋 3
1.3 逾渗（渗流） 4
1.4 1/f噪声 6
1.5 雪花形成及生长现象 7
1.6 地震 10
1.7 气候 11
1.8 异常扩散 14
小结 17
第二章 分数维的物理意义 18
2.1 多尺度系统的标记 18
2.2 临界现象和奇异性的特征 23
2.3 间歇（间隙）性的表现 25
2.4 级联过程和自我复制 27
2.5 分形层次结构 30
2.6 处处不可微 35
2.7 记忆性 38
小结 41
第三章 标（尺）度变换和迭代函数方程 42
3.1 标度变换 42
3.2 演化方程的标度变换 45
3.3 物理学中的幂律函数 50
3.4 与标度有关的函数方程 54
3.5 迭代函数方程 57
3.6 迭代变换的非线性物理 59
3.7 尺度的“伽利略变换”和“洛伦兹变换” 63
3.8 复杂结构的涌现 65
小结 66
第四章 重正化群变换 67
4.1 重正化群变换的实质 67
4.2 一维重正化群变换逾渗模型 69
4.3 二维重正化群变换逾渗模型 73
4.4 一维伊辛模型的重正化群 78
4.5 简单生长过程的重正化群 83
4.6 相变和分岔 86
4.7 相变和突变 87
4.8 突变和重正化群 90
小结 92
第五章 从布朗运动到列维运动 93
5.1 布朗运动的概率密度分布 93
5.2 布朗运动下的扩散方程和自相关函数 96
5.3 自相似的随机过程 97
5.4 分数维布朗运动 99
5.5 方差、自相关函数、功率谱等标度指数的关系 104
5.6 列维运动 105
5.7 列维分布图像及应用 111
5.8 广义列维分布 115
小结 118
第六章 小波（子波）变换 119
6.1 傅里叶变换和小波变换描述自然界的异同 119
6.2 小波变换的标度不变性 122
6.3 常用的小波及卷积的含义 123
6.4 小波变换检出t0处信号的突变性 128
6.5 哈尔标度函数 131
6.6 随机函数的哈尔标度函数表示 132
6.7 哈尔标度函数表示分形 138
6.8 二维哈尔标度函数 139
6.9 小波变换的最大值 142
小结 145
第七章 多重分形 146
7.1 多重分形的来源及其描述方法 146
7.2 两尺度康托尔集合的配分函数 151
7.3 多重分形的物理意义 152
7.4 人口分布的多分维过程 152
7.5 均匀和不均匀的τ（q） 154
7.6 求τ（q），α（q）和f（α）的较好方法 157
7.7 二维面包师映射的多分维 160
7.8 三标度的多重分形 161
7.9 分层电阻网络和增长模型的多重分形 164
7.10 混沌动力系统的多重分形 167
小结 170
第八章 混沌、湍流与分形 171
8.1 费根鲍姆常数和两尺度康托尔集 171
8.2 圆映射和标度律 176
8.3 湍流及其统计描述 183
8.4 对数正态分布和列维分布 188
8.5 均匀各向同性湍流的科尔莫戈罗夫模型 191
8.6 间歇湍流的β模型 197
8.7 佘湍流模型 201
8.8 对数正态模型 202
小结 205
第九章 时间序列的分形 206
9.1 相空间和相轨迹 206
9.2 重构相空间的原因 209
9.3 塔肯斯定理 210
9.4 混沌和噪声 212
9.5 延迟时间和时间序列长度 214
9.6 李雅普诺夫特征指数和科尔莫戈罗夫熵 217
9.7 经验模态分解 219
9.8 长记忆性的时间序列 224
9.9 去趋势涨落分析 226
小结 228
第十章 自组织、自相似和结构 229
10.1 动力系统 229
10.2 反应扩散系统中的斑图 232
10.3 临界性和自组织临界性 236
10.4 沙堆模型 239
10.5 与斐波那契数有关的自相似螺旋结构 241
10.6 由伸长、折叠、扭转而形成的多层次结构 246
10.7 可激发系统的行波结构和孤波宽谱结构 250
10.8 分形结构出现的原因 255
10.9 熵和结构 260
小结 261
第十一章 分数阶导数的物理来源及定义 262
11.1 分数阶导数的物理来源 262
11.2 常数的分数阶导数不为零，分数阶导数为零的函数是幂函数 268
11.3 将整数阶导数扩展到分数阶导数的定义 270
11.4 分数阶导数的傅里叶和拉普拉斯变换 276
11.5 和分数阶导数有关的几个新的函数 278
11.6 从分数阶导数看记忆性 285
11.7 分数阶微分方程 286
11.8 分数阶积分和导数的标度不变性 289
小结 290
第十二章 分数阶动力学 291
12.1 湍流速度场的分数阶导数 291
12.2 分数维布朗运动的朗之万方程的解 292
12.3 等时降速的轨迹问题 293
12.4 分数阶摩擦力和调和振荡 295
12.5 分数阶弛豫过程 297
12.6 分数维电学 300
12.7 分形介质的流体力学方程组 300
12.8 异常扩散方程 303
小结 307
参考文献 308
索引 311