1 行列式 1
1.1 n阶行列式的定义 1
1.1.1 二阶与三阶行列式 1
1.1.2 全排列及其逆序数 3
1.1.3 n阶行列式的定义 4
1.1.4 对换 7
习题1.1 9
1.2 n阶行列式的性质 9
1.2.1 n阶行列式的性质 9
1.2.2 行列式的计算（一） 12
习题1.2 15
1.3 n阶行列式的展开 17
1.3.1 n阶行列式的展开定理 17
1.3.2 行列式的计算（二） 20
1.3.3 拉普拉斯定理 22
习题1.3 24
1.4 克拉姆法则 25
1.4.1 克拉姆法则 25
1.4.2 线性方程组的解 28
习题1.4 30
1.5 典型和扩展例题 31
2 矩阵 36
2.1 矩阵的概念 36
2.1.1 矩阵的概念 37
2.1.2 特殊矩阵 38
习题2.1 40
2.2 矩阵的运算 40
2.2.1 矩阵的线性运算 40
2.2.2 矩阵的乘法 42
2.2.3 方阵的幂与多项式 46
2.2.4 矩阵的转置与对称矩阵 48
2.2.5 复矩阵的共轭 50
习题2.2 51
2.3 逆矩阵 52
2.3.1 伴随矩阵及其性质 52
2.3.2 逆矩阵的概念及其性质 54
习题2.3 58
2.4 分块矩阵 59
2.4.1 分块矩阵的概念 59
2.4.2 分块矩阵的运算 61
2.4.3 分块对角阵的运算性质 63
习题2.4 65
2.5 矩阵的初等变换与初等矩阵 66
2.5.1 矩阵的初等变换 66
2.5.2 矩阵的等价性 68
2.5.3 初等矩阵 69
习题2.5 74
2.6 矩阵的秩 75
2.6.1 矩阵秩的概念 75
2.6.2 矩阵秩的求法 77
2.6.3 矩阵秩的若干性质 80
习题2.6 81
2.7 典型和扩展例题 83
3 向量组与线性方程组 88
3.1 高斯消元法 88
3.1.1 消元过程与回代过程 88
3.1.2 线性方程组解的讨论 90
习题3.1 96
3.2 向量组的线性相关性 97
3.2.1 向量组的线性表示 97
3.2.2 向量组的线性相关性 101
3.2.3 向量组线性相关性的判别 104
习题3.2 106
3.3 向量组的秩 107
3.3.1 向量组的极大线性无关组与秩 107
3.3.2 向量组的等价性 109
3.3.3 向量组的秩与矩阵秩的关系 111
习题3.3 112
3.4 线性方程组解的结构 113
3.4.1 齐次线性方程组解的结构 113
3.4.2 非齐次线性方程组解的结构 118
习题3.4 121
3.5 向量空间 122
3.5.1 向量空间引例 122
3.5.2 向量空间及其子空间 123
3.5.3 向量空间的基、维数与坐标 124
习题3.5 127
3.6 典型和扩展例题 128
矩阵的相似 134
4.1 方阵的特征值与特征向量 134
4.1.1 特征值与特征向量的概念 134
4.1.2 特征值与特征向量的求法 135
4.1.3 特征值与特征向量的基本性质 137
习题4.1 140
4.2 相似矩阵 141
4.2.1 相似矩阵及其性质 141
4.2.2 相似不变量 143
4.2.3 相似对角阵 144
习题4.2 147
4.3 矩阵的约当标准形 148
4.3.1 约当标准形 148
4.3.2 求约当标准形的波尔曼方法 151
习题4.3 153
4.4 典型和扩展例题 154
5 二次型 159
5.1 正交矩阵 159
5.1.1 向量的内积与正交概念 159
5.1.2 规范正交基及其求法 162
5.1.3 正交矩阵 163
5.1.4 实对称矩阵的对角化 164
习题5.1 167
5.2 二次型及其标准形 168
5.2.1 二次型的基本概念 168
5.2.2 二次型的标准形 169
5.2.3 实对称矩阵的合同关系 171
习题5.2 171
5.3 化二次型为标准形 172
5.3.1 拉格朗日配方法 172
5.3.2 初等变换法 174
5.3.3 正交变换法 176
习题5.3 177
5.4 正定二次型 178
5.4.1 惯性定理 178
5.4.2 正定二次型 180
习题5.4 183
5.5 典型和扩展例题 184
6 线性空间与线性变换 191
6.1 线性空间的定义及其性质 191
6.1.1 线性空间的定义 191
6.1.2 线性空间的性质 193
6.1.3 子空间 194
习题6.1 195
6.2 基、维数与坐标 196
6.2.1 n维线性空间的基与维数 196
6.2.2 向量在基下的坐标 198
6.2.3 线性空间的同构 200
6.2.4 基变换与坐标变换 202
习题6.2 204
6.3 欧氏空间 205
6.3.1 内积的概念与性质 205
6.3.2 规范正交基 207
习题6.3 211
6.4 线性变换的定义及其性质 212
6.4.1 线性变换的定义 212
6.4.2 线性变换的性质 214
习题6.4 216
6.5 线性变换的矩阵表示 217
6.5.1 线性变换在给定基下的矩阵 217
6.5.2 线性变换在不同基下的矩阵 220
习题6.5 222
6.6 线性变换的特征值与特征向量 223
6.6.1 特征值与特征向量的概念 223
6.6.2 特征值与特征向量的求法 225
6.6.3 特征值与特征向量的若干性质 226
习题6.6 227
6.7 典型和扩展例题 228
习题参考答案 231