第七章 空间解析几何 1
第一节 空间曲面的轨迹与方程 1
一、空间直角坐标系 1
二、空间中两点间的距离 2
三、曲面方程的一般概念 3
四、常见曲面 4
习题7-1 11
第二节 空间曲线及其方程 12
一、空间曲线的一般方程 12
二、空间曲线的参数方程 12
三、空间曲线在坐标面上的投影 13
习题7-2 15
第三节 向量及其运算 16
一、向量的概念及其运算 16
二、向量在坐标系下的表示 19
三、向量在坐标系下的线性运算 21
四、向量的模与方向余弦的坐标表示 22
五、向量在轴上的投影和投影性质 24
六、向量的数量积 25
七、向量的向量积 27
八、向量的混合积 31
习题7-3 33
第四节 平面及其方程 34
一、平面的点法式方程 34
二、平面的一般方程 35
三、平面的截距式方程 37
四、两平面的夹角 38
五、点到平面的距离 39
习题7-4 40
第五节 空间直线及其方程 41
一、空间直线的一般方程 41
二、空间直线的对称式方程与参数方程 41
三、两直线的夹角 44
四、直线与平面的夹角 45
五、杂例 46
习题7-5 49
数学实验七 51
第八章 多元函数微分学 53
第一节 多元函数的基本概念 53
一、平面点集及n维空间中的点集 53
二、多元函数概念 56
三、多元函数的极限 58
四、多元函数的连续性 60
习题8-1 62
第二节 偏导数 63
一、偏导数的定义及计算 63
二、高阶偏导数 66
习题8-2 68
第三节 全微分 70
一、全微分的定义及性质 70
二、全微分在近似计算中的应用 73
习题8-3 75
第四节 多元复合函数的求导法则 76
一、一个中间变量，多个自变量情形 76
二、多个中间变量，一个自变量情形 76
三、多个中间变量，多个自变量情形 77
习题8-4 83
第五节 隐函数的求导公式 85
一、一个方程的情形 85
二、方程组的情形 88
习题8-5 91
第六节 多元函数微分学的几何应用 93
一、空间曲线的切线与法平面 93
二、空间曲面的切平面与法线 95
习题8-6 99
第七节 方向导数与梯度 100
一、方向导数 100
二、梯度 102
习题8-7 103
第八节 多元函数的极值 104
一、多元函数的极大值和极小值 104
二、多元函数的最大值和最小值 107
三、条件极值和拉格朗日乘数法 109
习题8-8 113
第九节 二元函数的泰勒公式 114
一、二元函数的泰勒公式 114
二、二元函数极值充分条件的证明 117
习题8-9 118
数学实验八 118
第九章 重积分 121
第一节 二重积分的概念与性质 121
一、二重积分的概念 121
二、二重积分的性质 124
习题9-1 126
第二节 利用直角坐标计算二重积分 127
习题9-2 135
第三节 利用极坐标计算二重积分 136
一、二重积分的极坐标计算公式 136
二、极坐标下二重积分的计算法 137
习题9-3 141
第四节 三重积分及其在直角坐标系下的计算法 142
一、三重积分的定义 142
二、空间直角坐标系下三重积分的计算法 143
习题9-4 148
第五节 利用柱面坐标和球面坐标计算三重积分 149
一、利用柱面坐标计算三重积分 149
二、利用球面坐标计算三重积分 153
习题9-5 157
第六节 重积分的应用 158
一、体积 158
二、引力 160
三、重心与质心 161
四、转动惯量 164
习题9-6 165
数学实验九 166
第十章 曲线积分与曲面积分 168
第一节 对弧长的曲线积分 168
一、对弧长的曲线积分的概念与性质 168
二、对弧长的曲线积分的计算法 170
习题10-1 173
第二节 对坐标的曲线积分 174
一、对坐标的曲线积分的概念与性质 174
二、对坐标的曲线积分的计算法 177
三、两类曲线积分之间的关系 180
习题10-2 181
第三节 格林公式及其应用 182
一、格林公式 182
二、平面上的曲线积分与路径无关的条件 188
三、二元函数的全微分求积 190
习题10-3 194
第四节 对面积的曲面积分 195
一、对面积的曲面积分的概念与性质 195
二、对面积的曲面积分的计算法 197
习题10-4 200
第五节 对坐标的曲面积分 202
一、有向曲面 202
二、对坐标的曲面积分的概念与性质 203
三、对坐标的曲面积分的计算法 206
四、两类曲面积分之间的关系 209
习题10-5 211
第六节 高斯公式和斯托克斯公式 212
一、高斯公式 212
二、斯托克斯公式 216
三、空间曲线积分与路径无关的条件 219
习题10-6 221
第七节 场论初步 222
一、数量场与向量场 222
二、向量场的通量和散度 223
三、向量场的环流量与旋度 224
习题10-7 225
数学实验十 226
附录Ⅰ 数学建模实践 228
附录Ⅱ 积分应用一览表 237
部分习题答案 239
参考文献 250